Сколькими способами можно выбрать 3 различных карандаша из имеющихся 5 карандашей разных цветов
Обновлено: 15.09.2024
Сколькими способами можно выбрать 2 карандаша и 3 ручки из пяти различных карандашей и пяти различных ручек? ( Ответ 100) .
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА С РЕШЕНИЕМ+ по какой формуле?
Ответ: 100
Пошаговое объяснение:
2 карандаша из 5 различных это число сочетаний из 5 по 2
3 ручки из пяти различных это число сочетаний из 5 по 3
(в обоих случаях пропущен верхний индекс, не знаю как вставить)
Т.к. ручки и карандаши выбираются независимо друг от друга, то количество способов получается перемножением:
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
КОМБИНАТОРИКА
Часто приходится иметь дело с задачами выбора элементов из некоторой совокупности и расположения этих элементов в определенном порядке. Поскольку в таких задачах речь идет о тех или иных комбинациях объектов, их называют комбинаторными задачами. Роль таких задач важна не только в математике, но и физике, химии, биологии, технике и экономике. Комбинаторные задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, математической статистики и т. д.
Трудно переоценить значимость той роли, которую играет обучение методам решения комбинаторных задач в общеобразовательной школе. Освоение методов решения таких задач способствует развитию умственных способностей и математического кругозора ученика. Комбинаторные задачи несут широкие возможности для способов решения таких задач, которые могут служить как формы общих методов решения задач.
Правило суммы
Для ознакомления первого правила комбинаторики-правила суммы мы предлагаем разбор следующей задачи:
Задача 1. На столе лежат 3 черных и 5 красных карандашей. Сколькими способами можно выбрать карандаш любого цвета?
Решение: Выбрать карандаш любого цвета можно 5+3=8 способами.
Правило суммы в комбинаторике:
Задача 2. В классе 10 учащихся занимаются спортом, остальные 6 учащихся посещают танцевальный кружок. 1)Сколько пар учащихся можно выбрать так, чтобы один из пары был спортсменом, другой танцором? 2)Сколько возможностей выбора одного ученика?
Решение: 1)Возможность выбора спортсменов 10, а на каждого из 10 спортсменов выборов танцора 6. Значит, возможность выбора пар танцора и спортсмена 10·6=60.
2) Возможность выбора одного ученика 10+6=16.
Правило произведения
Рассмотрим решение задачи, через которое сформулируем новое правило – правило произведения, неоднократно используемое при изучении последующего материала.
Задача 1. Из города А в город В ведут 3 дороги. А из города В в город С ведут 4 дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?
Решение: Можно рассуждать таким образом: для каждой из трех путей из А в В имеется четыре способа выбора дороги из В в С. Всего различных путей из А в С равно произведению 3·4, т.е. 12.
Правило произведения:
Пусть нужно выбрать к элементов. Если первый элемент можно выбрать n 1 способами, второй – n 2 способами и т. д., то число способов к элементов, равно произведению n 1 · n 2 ·… n к .
Задача 2. В школьной столовой имеются 2 первых, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколькими способами ученик может выбрать обед, состоящий из первых, вторых и третьих блюд?
Решение: Первое блюдо можно выбрать 2 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 вторых блюд. Первые два блюда можно выбрать 2·5=10 способами. И, наконец, для каждой 10 этих выборов имеются четыре возможности выбора третьего блюда, т. е. Существует 2·5·4 способов составления обеда из трех блюд. Итак, обед может быть составлен 40 способами.
Перестановки
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества, являются перестановки.
Рассмотрим на примере перестановку без повторений.
Задача: На полке лежат 3 книги. В каком порядке можно расставить эти книги?
Решение: Обозначим их буквами а, в, с. Эти книги можно расставить на полке по – разному:
авс, асв, вас, вса, сав, сва.
Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов. При решении этой задачи можно воспользоваться правилом умножения. Выбор первого места на полке три. Для каждого выбора первого места есть две возможности выбора второго места. Из трех книг один выбран для первого места. Остаются 2 остальные книги. Наконец, для каждого выбора первых, вторых мест только один выбор третьего места.
Опредление: Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
Число перестановок из n элементов обозначается символом Р n .
Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них всего п выборов. На второе место любой из оставшихся, т. е. n -1 выбор. На третьем месте любой из оставшихся после первых двух выборов, т. е. n -2 выбора и т. д. В результате получим: Р n = n ·( n -1)·( n -2)…2·1.
Если произведение обозначим 1·2·3…( n -1)· n = n !, то число всевозможных перестановок из к элементов вычисляется по формуле:
Сколькими способами можно расставить 7 бегунов на 7 дорожках?
Решение: Р 7 =1·2·3·4·5·6·7=5040 Ответ: 5040 способов.
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, если цифры не повторяются?
Решение: Так как натуральное число не может начинаться с цифры 0, исключаем те числа, которые начинаются с цифры 0. Количество таких чисел
Р 5 – Р 4 = 1·2·3·4·5-1·2·3·4 = 120-24=96 Ответ: 96 чисел.
На собрание пришли 3 девочки и 4 мальчика. Сколькими способами можно их рассадить, если девочки хотят сидеть рядом?
Решение: Если рассмотреть девочек как одну, всего перестановок будет Р 5 . В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р 3 перестановок девочек. Искомое число перестановок:
Р 5 ·Р 3 = 5!·3!=1·2·3·4·5·1·2·3=720 Ответ: 720 способов.
4. Размещения
Задача: Даны четыре различных шара: белый, зеленый, красный и синий. Их нужно поместить в 3 пустые ячейки. Сколько всего будет способов размещения шаров?
Решение: Сначала выпишем все варианты, которые начинаются с белого шара, затем – с зеленого и т. д.
бзк, бкз, бзс, бсз, бкс, бск.
збк, зкб, зсб, збс, зкс, зск.
кбз, кзб, ксб, кбс, кзс, ксз.
сбз, сзб, скб, сбк, скз, сзк.
Всего способов 24. В первую ячейку можно выбрать четырьмя способами. Во вторую – тремя, в третью – двумя. Всего способов 4·3·2=24. Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением из четырех элементов по три.
Определение: Размещением из n элементов по к (к≤ n ) называется любое множество, состоящее из любых к элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.
Каждое множество при размещении отличается порядком элементов или их составом.
Число размещений из n элементов по к обозначают А n .
Первый элемент можно выбрать n способами, второй n -1 и последний к-й элемент n -(к-1) способами.
А n = n ( n -1)( n -2)… ( n -( k -1))
Учащиеся одного класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предметов.
Решение: Расписание на один день отличаются либо порядком следования предметов, либо самими предметами. Значит, здесь речь идет о размещении
из 8 элементов по 4.
А 8 = 8·7·6·5=1680 Ответ: 1680 способов.
Сколькими способами тренер может распределить 10 спортсменов, на эстафете 4·100 на первом, во втором, третьем и четвертом этапах?
Решение: А 10 = 10·9·8·7·=5040 Ответ: 50400 способов.
3. Сколько существует пятизначных телефонных номеров, в каждом из которых все цифры различны и первая цифра различна отнуля? 5
Решение: Число размещений из десяти элементов по пять – А 10 . Число размещений
начинающихся с цифры ноль – А 9 . Число телефонных номеров равно:
А 10 – А 9 =10·9·8·7·6 – 9·8·7·6 = 27216 Ответ: 27216 номеров.
Задача: На столе лежат 5 разноцветных карандашей. Сколько способов для выбора 3 из них?
Решение: Обозначим карандаши буквами а, в, с, d , е. Можно составить такие сочетания: авс, ав d , abe , acd , ace , ade , bcd , bce , bed , cde .
Всего: 10 способов.
Определение: Сочетанием из n элементов по к называется любое множество, составленное из к элементов, выбранных из данных n элементов.
Число сочетаний из n элементов по к обозначается С n .
В сочетаниях не имеет значения порядок элементов, сочетания отличаются составом элементов.
Допустим, имеется множество, содержащее n элементов, и из его элементов составлены
всевозможные сочетания по к элементов. Число таких сочетаний равно С n . В каждом сочетании можно выполнить Рк перестановок. В результате мы получим все размещения,
которые можно составить из n элементов по к. Их число равно А n .
Значит, А n = Cn · P к. Отсюда С n = А n
Умножим числитель и знаменатель, на ( n -к)!
1·2·3·…· k ·( n - k )! k !( n - k )!
Из 12 учеников нужно выбрать 3 ученика на улусный новогодний бал. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Решение: Каждый выбор отличается от другого хотя бы одним учеником. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 12 элементов по 3:
С 12 = 1·2·3·…·9·10·11·12 = 220 Ответ: 220 способов
В классе 10 девочек и 8 мальчиков. Нужно выбрать троих дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор, если:
а) среди них должен быть 1 мальчик;
б) это могуть быть любые 3 ученика?
Решение: а) выбрать одного мальчика можно С 8 способами:
Выбрать из 10 девочек 2 дежурных можно С 10 способами:
Способов из 3 дежурных, среди которых 1 мальчик, всего:
С 8 ·С 10 = 8·45=360 Ответ: 360 способов.
б) любых 3 учеников из 18 учащихся можно выбрать
С 18 = 1·2·3…15·16·17·18 = 816 Ответ: 816 способов.
В корзине имеются 15 груш и 7 яблок. Нужно выбрать 5 груш и 3 яблока. Сколькими способами это можно сделать?
Решение: Способов выбора 5 груш:
С 15 = 1·2·…·10·11·12·13·14·15 = 360360 = 3003
Способов выбора 3 яблок:
Всего указанный выбор можно сделать С 15 ·С 7 способами:
С 15 ·С 7 = 3003·35=105105 Ответ: 105105 способов.
ЗАДАЧИ
Сколькими способами можно расставить в ряд на одной полке 7 книг?
Сколькими способами можно выбрать трех человек на 3 различные должности из восьми кандидатов?
Из 11 футболистов нужно делегировать 3 человека. Сколькими способами это можно сделать?
Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
На станции 7 запасных путей. Сколькими способами можно расставить на них 4 поезда?
Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если имеется материал 7 различных цветов?
На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменов. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете 4 по 100 м на первом, втором, третьем и четвертом этапах?
Сколькими способами могут быть распределены первая, вторая и третья премии между 15 участниками конкурса?
Сколькими способами 6 учеников, сдающих зачет, могут занять места в кабинете, в котором стоят 20 одноместных столов?
Сколько четырехзначных чисел, в которых нет одинаковых цифр, можно составить из цифр: а) 1, 3, 5, 7, 9; б) 0, 2, 4, 6, 8.
Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отличная от нуля?
В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуются прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить 4 мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?
В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?
В отделе работают 5 ведущих и 8 старших научных сотрудников. В командировку надо послать двух ведущих и трех старших научных сотрудников. Сколькими способами может быть сделан выбор сотрудников, которых надо послать в командировку?
Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов, и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки.
а) сколько встреч было между футболистами?
б) сколько встреч было между хоккеистами?
в) сколько встреч было между футболистами и хоккеистами?
г) сколько встреч было всего?
20. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Известно, что
рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретились, если известно, что:
а) каждый здоровался с каждым;
б) только один человек не здоровался ни с кем;
в) только двое не поздоровались между собой.
21. В классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу.
Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару обязательно
должны составить мальчик и девочка? б) без указанного условия?
22. В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в опере по замыслу композитора 5 мужских и
3 женских партии. Сколько существует различных певческих составов для спектакля,
если известно, что:
а) все певицы и певцы прекрасно ладят между собой;
б) певцы А и Б ни за что не будут петь вместе;
в) 6 певцов накануне сорвал голос на футболе, и одной певице придется петь мужскую
23. В шахматном кружке занимаются 16 человек. Сколькими способами тренер может
выбрать из них для предстоящего турнира:
а) команду из 4 человек;
б) команду из четырех человек, указав при этом, кто из членов команды будет играть
на первой, второй, третьей и четвертой досках?
24. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:
а) двух дежурных;
б) старосту и помощника старосты.
25. Из 20 вопросов к экзамену Вова 12 вопросов выучил, 5 совсем не смотрел, а в
остальных что– то знает, а что- то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.
Сколькими способами можно составить набор из 5 карандашей, выбирая их из 8 имеющихся карандашей восьми различных цветов?
Набор фломастеров стоит 5 руб а набор карандашей на 2 руб дешевле сколько рублей стоит набор карандашей?
Набор фломастеров стоит 5 руб а набор карандашей на 2 руб дешевле сколько рублей стоит набор карандашей.
Имеется 6 видов карандашей и 4 вида блокнотов?
Имеется 6 видов карандашей и 4 вида блокнотов.
Сколькими способами можно составить подарочный набор, состоящий из карандаша и блокнота?
У Миши 4 ручки разного цвета, 3 блокнота разного размера и 3 карандаша различной мягкости?
У Миши 4 ручки разного цвета, 3 блокнота разного размера и 3 карандаша различной мягкости.
Сколько различных наборов может составить Миша?
Света купила 3 набора цветных карандашей А Валя 4 таких же набора всего девочки купили 42 карандаша Сколько карандашей купила Света Сколько карандашей купила Валя?
Света купила 3 набора цветных карандашей А Валя 4 таких же набора всего девочки купили 42 карандаша Сколько карандашей купила Света Сколько карандашей купила Валя.
ДЛЯ ДЕТСКОГО САДА КУПИЛИ 5 НАБОРОВ ПО 6 КАРАНДАШЕЙ В КАЖДОМ И СТОЛЬКО ЖЕ НАБОРОВ ПО 12 КАРАНДАШЕЙ В КАЖДОМ?
ДЛЯ ДЕТСКОГО САДА КУПИЛИ 5 НАБОРОВ ПО 6 КАРАНДАШЕЙ В КАЖДОМ И СТОЛЬКО ЖЕ НАБОРОВ ПО 12 КАРАНДАШЕЙ В КАЖДОМ.
СКОЛЬКО ВСЕГО КАРАНДАШЕЙ КУПИЛИ?
ДЛЯ ДЕТСКОГО САДА КУПИЛИ 5 НАБОРОВ ПО 6 КАРАНДАШЕЙ В КАЖДОМ И СТОЛЬКО ЖЕ НАБОРОВ ПО 12 КАРАНДАШЕЙ В КАЖДОМ?
ДЛЯ ДЕТСКОГО САДА КУПИЛИ 5 НАБОРОВ ПО 6 КАРАНДАШЕЙ В КАЖДОМ И СТОЛЬКО ЖЕ НАБОРОВ ПО 12 КАРАНДАШЕЙ В КАЖДОМ.
СКОЛЬКО ВСЕГО КАРАНДАШЕЙ КУПИЛИ?
Для летнего лагеря купили набор фломастеров и карандашей по 6 штук в каждом фломастеров 50 наборов карандашей на 20 наборов меньше Сколько всего фломастеров и карандашей купили?
Для летнего лагеря купили набор фломастеров и карандашей по 6 штук в каждом фломастеров 50 наборов карандашей на 20 наборов меньше Сколько всего фломастеров и карандашей купили.
Сколькими способами можно выбрать две различные краски из восьми имеющихся?
Сколькими способами можно выбрать две различные краски из восьми имеющихся.
Помогите решить задачу За карандаш и набор ручек заплтили 35 рублей?
Помогите решить задачу За карандаш и набор ручек заплтили 35 рублей.
Набор ручек стоит в 6 раз дороже карандаша .
Сколько стоит набор ручек и Карандаш.
За карандаш и набор ручек заплатили 45 рублей?
За карандаш и набор ручек заплатили 45 рублей.
Набор ручек стоит в 4 раза дороже карандаша.
Сколько стоит набор ручек и карандаш?
(без икса пожалуйста).
На этой странице сайта, в категории Математика размещен ответ на вопрос Сколькими способами можно составить набор из 5 карандашей, выбирая их из 8 имеющихся карандашей восьми различных цветов?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся студенческий. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.
440 * 100 - - - - - - - - - - - 22 сокращаем 440 и 22, получается : 20 * 100 - - - - - - - - - 1 следовательно, это уже не дробь, а целые числа : 20 * 100 = 2000 Ответ : 2000.
1 кг костей = 160 г сухого клея 1 т костей—? Кг 1 т = 1000 кг 160х1000 = 160000 (кг).
1) да верно 2) да верно 3)да верно 4) да верно 5) да верно 6) да верно.
17÷24 + 7÷36 + 14 = 0, 7 + 0, 19 + 14 = 14, 89≈14, 9 км.
1) 2 * 5 * 3 = 30 2) 2 * 3 * 5 * 7 = 210 3) 4 * 5 * 3 = 60 4) 4 * 9 * 25 = 900.
(6 + 4)×(4 + 4) = 80 м кв 80×3 = 240 м куб 1комната - 24×3 = 72 м куб 2комната - 16×3 = 48 м куб 3комната - 20×3 = 60 м куб 4комната = 20×3 = 60 м куб.
Мне кажется тоже в 2 раза так как периметр это сумма всех сторон.
Утром 1800 а днём 2940 . Просто нужно умножить.
© 2000-2022. При полном или частичном использовании материалов ссылка обязательна. 16+
Сайт защищён технологией reCAPTCHA, к которой применяются Политика конфиденциальности и Условия использования от Google.
1. Выкидываем синий, берем зеленый. Остается 14 свободных карандашей. Сколькими способами из этих 14 можно выбрать 4 оставшихся?
2. Выкидываем зеленый, берем синий. Повторяем комбинации из п.1.
3. Выкидываем оба. Остается 13. Сколькими способами можно выбрать 5?
Есть и другой способ. Сначала считаем, сколько комбинаций можно сложить из всех карандашей. А затем вычитаем количество комбинаций, при который синий и зеленый вместе. Для этого берем оба карандаша (син и зел), считаем. сколькими способами можно выбрать 3 из оставшихся 14.
Чтобы посчитать, сколькими способами можно выбрать К карандашей из N, искользуем формулу сочетания СNK: N!/(K!*(N-K)!)
Читайте также: