На блюде лежат 4 яблока и 3 груши сколькими способами можно выбрать один плод
Обновлено: 15.09.2024
Презентация на тему: " КомбинаторикаКомбинаторика. Цель урока: Рассмотреть, что изучает комбинаторика, ввести правила суммы и произведения и показать их применение при решении." — Транскрипт:
2 Цель урока: Рассмотреть, что изучает комбинаторика, ввести правила суммы и произведения и показать их применение при решении задач.
4 1. Комбинаторика. Комбинаторика это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами. К комбинаторным задачам также относятся задачи построения математических квадратов, задач расшифровки и кодирования. Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков 17 века Блеза Паскаля ( ) и Пьера Ферма ( ) по теории азартных игр. Основные правила комбинаторики – это правила суммы и произведения.
6 3. Правило произведения. Если элемент А можно выбрать m способами, элемент В можно выбрать n способами, то пару А и В можно выбрать mn способами. Запись в тетради. А m способов; В - n способов; (А и В) - (mn) способов. Например: если есть 2 разных конверта, 3 разные марки, то выбрать то выбрать конверт и марку можно 2*3=6 способами. Обратите внимание - выбирается пара конверт и марка. Правило произведения верно и в том случае, когда рассматриваются элементы нескольких множеств. Например: если есть 2 разных конверта и 3 разные марки и 4 разные открытки, то выбрать конверт, марку и открытку можно 2*3*4=24 способами.
8 Задача 1 Решить задачу, предварительно определив, сколько элементов надо выбрать (т. е. на какое правило задача). Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают 3 алые, 2 белые и 4 желтые розы?
9 Решение: Выбирается 1 роза. Правило суммы 3+2+4=9 (способов).
10 ЗАДАЧА 2. В столовой есть 4 первых блюда и 7 вторых. Сколько различных вариантов обеда из 2 блюд можно заказать?
11 Решение: Выбирается 2 блюда. Правило произведения 4. 7=28 (вариантов).
12 Задача 3. На блюде лежат 7 яблок 3 груши и 4 апельсина а) сколькими способами можно взять с блюда 1 плод; б) сколькими способами можно взять: (яблоко с грушей); (яблоко с апельсином); (грушу с апельсином); в) сколькими способами можно взять 2 фрукта с разными названиями.
13 Решение: а) выбирается 1 плод. Правило суммы 7+3+4=14; б) выбирается 2 плода. Правило произведения: (7. 3=21 способ ), (7. 4=28 способов ), (3. 4=12 способов ); в) применяются оба правила. Сначала - правило произведения (выбирается пара) и затем – правило суммы (эта пара рассматривается как единое целое) = =61 (способ ).
14 Задача 4. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7, если цифры могут повторяться?
15 Решение: 1-й способ (перебор) Ответ: 9 чисел. 2-й способ (использование формулы) - двузначное число. Способ записи числа 3. 3=9
16 3-й способ (построение дерева)
17 Задача 5. В пакете драже лежат 9 красных,10 синих и 12 зелёных конфет. а) сколькими способами можно взять 1 конфету? б) сколькими способами можно взять: красную и синюю конфеты; красную и зеленую конфеты; синюю и зеленую конфеты. в) сколькими способами взять 2 конфеты разного цвета.
19 Задача 6 Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5,если цифры могут повторяться?
20 Решение: 1-й способ (перебор) (8 чисел) 2-й способ (формула) =8 (чисел)
21 Задача 7 Сколько различных флагов можно сшить из материи 3-х цветов : красного, синего и белого, если каждый должен состоять из 3-х равных горизонтальных полос разного цвета?
22 Решение Вариантов решения этой задачи немного, их можно последовательно перебрать. К К С С Б Б С Б Б К С К Б С К Б К С Есть ли среди них флаг России?
23 Задача 8. От Кащея до Бабы-Яги ведут 3 дороги, а от Бабы-Яги до Кикиморы 2 дороги. Сколькими способами можно пройти от Кащея до Кикиморы, заходя к Бабе-Яге?
24 Решение: Каждый из 3-х путей, ведущих от Кащея к Бабе-Яге, можно продолжить двумя способами, значит получаем 3. 2=6 различных путей. Баба Яга КащейКикимора
25 Задача 9. В корзине сидят котята - 2 черных, 2 рыжих и 1 полосатый. Сколькими способами можно выбрать трех котят так, чтобы они все были разной окраски?
26 Решение: По условию, полосатого котенка надо выбирать всегда, то есть способ выбора всего один. Черного котенка можно выбрать двумя способами; рыжего – тоже двумя. Всего получаем: =4 способа.
27 Подведение итогов. Оцените степень вашего усвоения материала: а) усвоил полностью, могу применить; б) усвоил полностью, но затрудняюсь в применении; в) не усвоил.
Пример. На блюде лежат 5 яблок и 2 груши. Сколькими способами можно выбрать один плод?
Решение. Плод можно выбрать семью способами (5+2=7).
Если некоторый элемент a может быть выбран из множества элементов способами, а другой элемент может быть выбран способами, причем любой выбор элемента b отличен от любого выбора элемента a, то выбрать либо a, либо b можно способами.
На языке теории множеств это правило формулируется следующим образом:
Теорема. Если пересечение конечных множеств пусто, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств А и В.
Правило произведения.
Вторым основным правилом комбинаторики является правило произведения.
Решение. Количество клеток равно 10•10=100.
Если элемент a можно выбрать из множества элементов способами и после каждого такого выбора элемент можно выбрать способами, то два элемента (упорядоченную пару) и можно выбрать способами.
На языке множеств это правило выражается в виде следующей теоремы.
Теорема. Если множества и конечны, то .
Следствие. Если множества - конечны, то
Пример. Сколько номеров, состоящих из двух букв, за которыми идут три цифры можно составить, если использовать 29 букв и 10 цифр.
Решение. Обозначим множество букв , множество цифр – ; каждый номер требуемого вида является набором длины из декартова произведения ; по условию , тогда по следствию из теоремы 2 имеем.
Правило суммы
Пример. От Октябрьской площади до цирка можно проехать через Северную и Южную дамбы. В первом случае количество дорог равно 4, а во втором – 3. Сколькими способами можно добраться от Октябрьской площади до цирка?
Решение. Очевидно, число разных путей от Октябрьской площади до цирка равно 4+3=7.
Правило произведения
Правило произведения. Пусть некоторый выбор требует выполнения одного за другим действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе (после него) — n2 способами, третье — n3 способами и так до –го действия, которое можно выполнить способами (после выполнения предыдущих действий), то все действий в указанном порядке можно выполнить способами.
Пример. Из Перми до Чайковского можно добраться теплоходом, поездом, автобусом или самолетом; из Чайковского до Ижевска – теплоходом или автобусом. Сколькими способами можно осуществить путешествие по маршруту Пермь – Чайковский – Ижевск?
Решение. Число разных путей из Перми до Ижевска равно , так как, выбрав любой из четырех возможных способов путешествия из Перми до Чайковского, имеем 2 возможных способа путешествия из Чайковского до Ижевска.
Пример.Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,если: а) ни одна цифра не повторяется больше одного раза в записи числа; б) цифры в записи числа могут повторяться; в) цифры могут повторяться в записи числа, но число должно быть нечетным.
Решение.а) Первой цифрой при этом может быть любая из 5 цифр 1,2,3,4,5 (0 не может быть первой цифрой, потому что в таком случае число не четырехзначное). Если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5 способами, третья — 4 способами, четвертая – 3 способами. Согласно правилу произведения общее число способов равно .
б) Для первой цифры имеем 5 возможностей (1,2,3,4,5), для каждой из следующих цифр – 6 возможностей (0,1,2,3,4,5). Следовательно, общее количество чисел равно .
в) Первой цифрой может быть одна из 5 цифр 1,2,3,4,5, а последней 1,3,5. Следовательно, общее количество чисел равно .
Факториал
(читается – факториал) представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно . Условились считать, что 0!=1!=1.
Размещения.
называются соединения, которые можно образовать из элементов, собирая в каждое соединение по элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.
Например, из 3 элементов по 2 можно образовать следующие размещения: .
Число всех возможных размещений, которые можно образовать из элементов по , обозначается символом и вычисляется по формуле:
Сочетания.
Сочетаниями из элементов по называются соединения, которые можно образовать из элементов, собирая в каждое соединение элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).
Например, из 3 элементов по 2 можно образовать следующие сочетания:
Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом :
(В числителе и знаменателе по множителей).
Формула бинома Ньютона
Если -й член ( -е слагаемое) разложения степени бинома обозначать через , то .
Часто при решении комбинаторных задач используется биномиальная теорема (бином Ньютона).
Биномиальная теорема. Имеет место равенство
Подробнее данная формула расписывается следующим образом: . Это бином Ньютона. Коэффициенты называются биномиальными коэффициентами.
При n=1 имеем тривиальный случай
при n=2 и n=3 получаются формулы, хорошо знакомые из школьного курса математики: и .
После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.
Подписи к слайдам:
Перешивкина Анна Юрьевна
ГБОУ школа №494 г. Санкт – Петербурга
Сколько существует вариантов покупки одной розы, если продают
3 алые, 2 белые и 4 желтые розы?
Важно помнить, что выбирается не просто красная, белая или желтая роза, а одна конкретная роза: эта красная или эта белая, или эта желтая роза.
А или В – (n + m)способов
Вернуться к решению задачи №3
В столовой есть 2 первых блюда и 3 вторых. Сколько различных вариантов обеда из 2 блюд можно заказать?
2 ∙ 3 = 6 способов
Если некоторый элемент А можно выбрать n способами, а элемент В – m способами, то пару А и В можно выбрать n ∙ m способами.
А и В – (n ∙ m)способов
Вернуться к решению задачи №3
На блюде лежат 8 яблок, 3 груши и 4 апельсина.
а) Сколькими способами можно взять один плод?
8 + 3 + 4 = 15 способов
б) Сколькими способами можно взять:
-
яблоко с грушей
8 · 3 = 24 способа
8 · 4 = 32 способа
3 · 4 = 12 способов
Выбирается 1 плод.
Выбирается 2 или 3 плода.
8 · 3 · 4 = 96 способов
На блюде лежат 8 яблок, 3 груши и 4 апельсина.
в) Сколькими способами можно взять два фрукта
с разными названиями?
Применяются оба правила.
как единое целое.
8 · 3 + 8 · 4 + 3 · 4 = 24 + 32 +12 = 68 способов
И пакетике драже лежат 9 красных, 10 синих
и 12 зеленых конфет.
Самостоятельная работа.
а) Сколькими способами можно взять 1 конфету?
б) Сколькими способами можно взять:
в) Сколькими способами можно взять две конфеты разного цвета?
а) 9 + 10+ 12 = 31способ
б) 9 · 10 = 90 способов
9 · 12 = 108 способов
10· 12 = 120 способов
в) 9 · 10 + 9 · 12 + 10 · 12 = 318 способов
-
красную и синюю конфеты
-
красную и зеленую конфеты
-
синюю и зеленую конфеты
Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4, и 7, если цифры могут повторяться.
1 способ (перебор)
Ответ: 9 чисел
Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4, и 7, если цифры могут повторяться.
2 способ (построение дерева различных вариантов)
Ответ: 9 чисел
Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4, и 7, если цифры могут повторяться.
3 способ (использование формулы)
Ответ: 9 чисел
3 · 3 = 9 чисел
Сколько различных трехзначных чисел можно составить используя цифры
3 и 5, если цифры могут повторяться? (задачу решить 3 способами)
Самостоятельная работа.
(дерево различных вариантов)
Ответ: 8 чисел
2 · 2 · 2 = 8 чисел
Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры
0, 1, 2, 3, если цифры могут повторяться.
Ответ: 12 чисел
3 · 4 = 12 чисел
2 цифра числа (четыре выбора : 0,1,2,3)
Сколько различных трехзначных чисел можно составить, используя цифры
Ответ: 6 чисел
3 · 2 · 1= 6 чисел
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называется n – факториал и обозначается символом n!
3 · 2 · 1= 3! = 6 чисел
n! = 1 · 2 · 3 · … · n = n!
Комбинаторика – это раздел математики,
посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами…
К комбинаторным задачам относятся также задачи построения математических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.
Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами великих французских математиков XVII века Блеза Паскаля и Пьера Ферма, хотя отдельные понятия и факты комбинаторики были известны ещё математикам античности и средневековья. С 50-х годов XX века интерес к комбинаторике возрождается в связи с бурным развитием кибернетики.
-
Смыкалова Е. В. Дополнительные главы по математике для учащихся
Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами
Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторика изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами. Обычный вопрос в комбинаторных задачах: сколькими способами….
К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования.
Задача На блюде 7 яблок, 4 мандарина и 5 груш
На блюде 7 яблок, 4 мандарина и 5 груш. Найдите количество способов, которыми можно взять с блюда
а) один плод;
б) грушу и мандарин;
в) яблоко и грушу;
г) яблоко и мандарин;
д) два фрукта с различными названиями.
В вазе лежат 3 яблока и 5 груш
В вазе лежат 3 яблока и 5 груш. Сколькими способами можно взять из вазы или одно яблоко, или одну грушу?
В вазе лежат 3 яблока и 5 груш. Сколькими способами можно взять из вазы одно яблоко и одну грушу?
В вазе лежат 3 яблока и 5 груш
В вазе лежат 3 яблока и 5 груш. Сколькими способами можно взять из вазы или одно яблоко, или одну грушу?
В вазе лежат 3 яблока и 5 груш. Сколькими способами можно взять из вазы одно яблоко и одну грушу?
(взаимоисключающие события) можно 3+5 = 8 способами.
(события происходят совместно) можно 3·5 = 15 способами.
В вазе лежат 3 яблока и 5 груш
В вазе лежат 3 яблока и 5 груш. Сколькими способами можно взять из вазы или одно яблоко, или одну грушу?
В вазе лежат 3 яблока и 5 груш. Сколькими способами можно взять из вазы одно яблоко и одну грушу?
(взаимоисключающие события) можно 3+5 = 8 способами.
(события происходят совместно) можно 3·5 = 15 способами.
Правило произведения:
если множество А содержит m элементов, а
множество В содержит n элементов, то декартово
произведение А х В содержит (m× n) элементов.
Задача 1: На тарелке лежат 6 яблок и 4 апельсина
Задача 1: На тарелке лежат 6 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?
Задача 2: Из Красноярска в Канск ведут три дороги, а из
Задача 2: Из Красноярска в Канск ведут три дороги, а из Канска в Абан – 4 дороги. Сколько различных путей ведут из Красноярска в Абан, если прямой дороги из Красноярска в Абан нет?
Задача 3: В чемпионате мира участвуют 18 команд по футболу
Задача 3: В чемпионате мира участвуют 18 команд по футболу. Сколькими способами можно распределить золотые, серебряные и бронзовые комплекты?
Есть 5 книг. Сколькими способами их можно расположить на книжной полке? 2)
1) Есть 5 книг. Сколькими способами их можно расположить на книжной полке? 2) В семье шесть человек, а за столом в кухне шесть стульев. Было решено каждый вечер перед ужином, рассаживаться на эти стулья по- новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?
N! - обозначение, которое используют для краткой записи произведения всех натуральных чисел от 1 до n включительно и называют "n-факториал"
N! - обозначение, которое используют для краткой записи произведения всех натуральных чисел от 1 до n включительно и называют "n-факториал"
Рефлексия • Сегодня я узнал… •
• Сегодня я узнал…
• Было интересно…
• Было трудно…
• Я выполнял задания…
• Теперь я могу…
Читайте также: