Для определения средней урожайности поля в 10000 га предполагается взять
Обновлено: 05.10.2024
Возникли трудности с такими вот задачками:
1) Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га взято на выборку по 1 м2 с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю не более чем на 0.25 ц.
2) Из партии 4000 деталей на выборку проверены 500. При этом оказалось 3% нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от их доли в выборке менее, чем на 1 %.
Не получается все это чудо привести в математическую форму! блин, писали бы в условии сразу а=, сигма =. Подскажите, пожалуйста, кто в этом разбирается, что здесь что и куда эту красоту подставлять (IMG:style_emoticons/default/rolleyes.jpg)
Будет здорово, если его кто-нибудь из бывалых проверит. А то я второй день бабушкину пенсию отмечаю (IMG:style_emoticons/default/drinks_cheers.jpg) мог и наврать где-нибудь (IMG:style_emoticons/default/newconfus.jpg)
Ботаник, большое спасибо за старания. только вот, что скрывается за серыми прямоугольниками на формулах в ссылках (IMG:style_emoticons/default/newconfus.jpg)
Гы-гы-гы (IMG:style_emoticons/default/laugh.jpg)
ну вы барышня уморили. (IMG:style_emoticons/default/dribble.jpg)
За серыми прямоугольниками в формулах скрываются цифры, которые вымараны цензурой. Вам ведь нужен ход решения, а не полное решение задачи? Да? Так что вооружайтесь калькулятором (IMG:style_emoticons/default/bleh.jpg)
Так бы сразу и сказали! (IMG:style_emoticons/default/bigwink.jpg) а то поналяпали прямоугольников, вдруг там че-нить важное скрывается!))
Приведенные в предыдущих параграфах сведения позволяюТ Решить ряд примеров, связанных с результатами выборочного Наблю дения.
Пример 2. Для определения средней урожайности пшеницы На Площади 10000 Га определена урожайность На 1000 Га. РезультаТы выборочного обследования представлены в виде Следующего Распределения:
Урожайность в Ц с Га
Количество Га
Найти вероятность того, что средняя урожайность пшеницы нА Всем массиве отличается от средней выборочной не более чем на 0,1 Ц, если выборка: а) повторная, б) бесповторная.
Решение. Вычислим среднюю арифметическую и дисперсиИ Данного в условии распределения (это будут выборочная Средняя И выборочная дисперсия).
За значение признака нужно принять середины интервалов В результате получим
.
Для нахождения вероятности искомого события применяем формулу
,
В которой . Найдем среднюю Квадратическую ошибку M.
Для повторной выборки по формуле (1), в которой , А П= 1000, получим
,
А в случае бесповторной выборки имеем по формуле (3)
.
Если выборка Повторная, то вычисление искомой Вероятности Дает
Если же выборка бесповторная, то искомая вероятность
Пример 3. Нз партии, содержащей 8000 деталей, было проверено 1000 деталей. Среди них оказалось 4% нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от их доли в выборке (W=0,04) не более чем на 0,015, если выборка: а) повторная, б) бесповторная.
Решение. В соответствии с формулой (2) при W=0,04, П = 1000 средняя Квадратическая ошибка повторной выборки
.
Если выборка бесповторная, то в соответствии с формУЛой (4) при значениях W=0,04, П = 1000 и N= 8000, средняя Квадратическая ошибка .
Отсюда искомая вероятность определяется так:
А) при повторной выборке
Б) при бесповторной выборке .
Пример 4. При условиях приведенного выше примера 2 найти границы, в которых с вероятностью 0,9973 заключена урожайность на всем массиве.
Решение. По таблице значений функции Ф(Х) находим, что Ф(3)=0.9973. Следовательно, при соотношении
, или
Можно, зная значения M и для повторной и для бесповторной выборки, найти D (предельную ошибку выборки):
А) если выборка повторная, то
;
Б) если выборка бесповторная, то
.
Таким образом, с вероятностью 0,9973 средняя урожайность (в Ц) НА всем массиве заключена в границах 15,4±0,18, т. Е. От 15,4-0,18 = 15,22 до 15,4+0,18=15,58, если выборка повторная, и в границах 15,4±0,17, т. е. от 15,4-0,17=15,23 до 15,4+0,17=15,57, если выборка бесповторная.
Пример 5. Из партии, содержащей 8000 деталей, было проверено 1000 деталей. Среди них оказалось 4% нестандартных. Определить границы, в которых с вероятностью 0,9545 заключена доля нестандартных деталей во всей партии, если выборка: а) повторная, б) бесповторная.
Решение. По таблице значений функции Ф(Х) находим, что . Следовательно, приходим к равенству , где M — средняя Квадратическая ошибка. В примере 3 (см. выше) мы вычислили, что она равна 0,0062, если выборка повторная, и 0,0059, если выборка бесповторная. Поэтому предельная ошибка выборки
, если выборка повторная;
, если выборка бесповторная,
Теперь можно найти искомые границы. Они буду таковы:
0,04±0,0124, т. е. от 0,0276 до 0,0524
(или от 2,76% до 5,24%), если выборка повторная, и
0,04±0,0118, т. е. от 0,0282 до 0,0518
(или от 2,82% до 5,18%), если выборка бесповторная.
Если требуется определить необходимый объем (П) Повторной Выборки, при котором с заданной надежностью (Р) отклонеНИе выборочной средней или доли от генеральной не превысило данной предельной ошибки (D), то значение П отыскивается из соотношения . Здесь T определяется по таблице из условия , a M — По одной из четырех формул. В частности, при определении среднеЙ признака искомый объем находится в виде , а при Определении доли признака — в виде или .
Пример 6. Из партии в 1000 единиц готовой продукции производится повторная выборка для определения доли брака. Найти тот объем этой выборки, при котором с вероятностью Р=0,99 гарантируется ошибка не свыше 0,1.
Решение. Здесь . Значению По таблице значений Ф(Х) соответствует . При заданном имеем . Значение П следует найти из соотношения . Но в условии нет значения доли брака. Поэтому следует использовать наибольшее значение Pq=0,25. Это приводИТ к соотношению , откуда .
Если надо установить объем выборочной совокупности при бесповторной выборке, то из формул (3) и (4)
и
Получаются следующие выражения для этого объема в бесповторной выборке:
(при определении средней признака)
(при определении доли признака).
Пример 7. Найти объем выборки из партии в 6000 прецизионных приборов, при котором можно с вероятностью Р=0,890 утверждать, что отклоненИе доли точных приборов в выборке от вероятности их изготовления р=0,4 не превысит 0,02: а) при повторной выборке и б) при бесповторной выборке.
РешенИЕ. Здесь дает по таблице значений Ф(Х) T=1,6. Предельная ошибка выборки по условию . Отсюда
А) при повторной выборке применяется формула , что дает:
Б) при Бесповторнои выборке применяем формулу , что дает:
Для определения средней урожайности на площади 100000 га взято в выборку по одному гектару от каждого участка размером 100 га. Определите вероятность того, что средняя выборочная урожайность будет отличаться от действительной средней по всей площади не более чем на 0,5 ц, если дисперсия урожайности на отдельных участках (по 100 га) не превышает 2 ц.
Используем теорему Чебышева
P(|1/n*sum(X))-1/n*sum(M(Xi)) | меньше е) >= 1-c/(ne^2)
n=100000/100=1000
e=0.5
D c=2
1-c/(ne^2)=0.992
Задание 1. Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго цеха. При этом материал 1-го цеха имеет 10% брака, а материал 2-го цеха – 20% брака. Найти вероятность того, что одна, взятая наудачу болванка не имеет дефектов.
Решение: Количество бракованных деталей, поступающих из обоих цехов, равно:
(0.7 · 0.1+0.3 · 0.2)·100%= (0.07+0.06)·100%=13%
Процент болванок, не имеющих дефектов, равен 100%-13%=87%
Ответ: Вероятность того, что одна, взятая наудачу болванка не имеет дефектов = 87%
Задание 2. В турнире встречаются 10 шахматистов, имеющие одинаковые шансы на любой исход в каждой встрече (только одной для каждых двух участников). Найти вероятность того, что какой-либо один из участников проведет все встречи с выигрышем.
Решение: Вероятность выиграть одну партию какого-либо участника = 1/3
Каждый участник сыграет 9 партий.
Вероятность того, что какой-либо один из участников проведет все встречи с выигрышем = (1/3) 9 ~ 0.00051
Ответ: Вероятность того, что какой-либо один из участников проведет все встречи с выигрышем = (1/3) 9 ~ 0.00051
Задание 3. Вероятность появления события А в отдельном испытании равна 0.75.
Какова вероятность того, что при восьмикратном повторении испытания это событие появится более 6 раз?
Решение: Р (m>6) = Р 7,8 + Р 8,8 = (8!/(7!·1!))·(0.75) 7 ·0.25 + (8!/(8!·0!))·(0.75) 8 ·(0.25) 0 = 2.75·(0.75) 7 ~ 0.367
Ответ: вероятность того, что при восьмикратном повторении испытания это событие появится более 6 раз ~ 0.367
Задание 4. Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га взято на выборку по 1м 2 с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю не более чем на 0.25 ц.
Решение: Введем следующие обозначения.
ξ = 0.25; с = 6; n = 1800
P > 1 – [pic 1] = 1 – [pic 2] ~ 1 – 0.053 ~ 0.947
Ответ: Вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю не более чем на 0.25 ц. равна ~ 0.947
Задание 5. Из партии 4000 деталей на выборку проверены 500. При этом оказалось 3% нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от их доли в выборке менее, чем на 1%.
Читайте также: