Определите тип задачи с тройкой пропорционально связанных величин на клумбе высадили 60 луковиц
Обновлено: 04.07.2024
Текстовая задача – есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между её компонентами или определить вид этого отношения. В задачах на тройку пропорционально связанных величин описываются процессы, которые характеризуются основными величинами:
- процесс купли-продажи – цена, количество, стоимость;
- процесс взвешивания – масса 1 предмета, количество, общая масса;
- процесс работы – производительность, время работы, вся работа;
- процесс движения – скорость, время, расстояние и др.
Все арифметические задачи по числу действий, выполняемых для их решения, делятся на простые и составные. Сначала связи между тремя величинами рассматриваются на простых задачах, затем – составных.
Составная задача включает в себя ряд простых задач, связанных между собой так, что искомые одних простых задач служат данными других. Решение составной задачи сводится к расчленению её на ряд простых задач и к последовательному их решению. Научить детей решать задачи – значит научить их устанавливать связи между данными и искомым и в соответствии с этим выбрать, а затем и выполнить арифметические действия.
Этапыобучения решению составных задач можно отразить в следующей структуре:
- подготовительный (решение простых задач с недостающими данными; решение пар простых задач; постановка вопроса к данному условию; выработка умений решать простые задачи, входящие в составную);
- ознакомительный(решение задач стандартных типовых и нетиповых, а также нестандартных);
- закрепление(выполнениезаданий на решение и преобразование задач).
А Методика обучения решению составных задач на нахождение четвертого пропорционального
В задачах этого вида даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым. Использую любые три величины, связанные пропорциональной зависимостью, можно составит шесть видов задач на нахождение четвертого пропорционального.
Затем под руководством учителя составляется модель – таблица:
| Цена | Количество | Стоимость |
| Одинаковая | 6 конвертов 3 конверта | 18 руб. ? |
При повторении задачи дети объясняют, что показывает каждое число: 6 – это количество конвертов с марками, 180 руб. – это стоимость и т. п.
Полезно до решения задачи сделать прикидку, т.е. установить, какое число получится в результате решения: больше или меньше какого-либо из данных чисел, и объяснить почему. Например, учащиеся устанавливают, что конверты с маркой будут стоить меньше, чем 180 руб., потому что их купили меньше, чем конвертов без марок, а цена конвертов одинаковая.
Сначала по известной стоимости и количеству находим цену конвертов, а затем – по цене и количеству находим неизвестную стоимость.
Можно рассуждать и так: конвертов с марками купили в 2 раза меньше, значит и заплатили в 2 раза меньше, ведь конверты покупали по одинаковой цене. 180:2= 90 (руб.).
Итак, задачи на четвертое пропорциональное – задачи, в которых даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной величины и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым. Эти задачи решаются способом нахождения значения постоянной величины.
Б. Методика обучения решению составных задач на пропорциональное деление
В 4 классе вводятся составные задачи новой математической структуры: задачи на пропорциональное деление разных видов. Раскроем особенности работы по решению этих составных задач.
Задачи на пропорциональное деление включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или более постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Применительно к каждой группе величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью, а две с обратно пропорциональной зависимостью.
Работа по ознакомлению с решением задач на пропорциональное деление второго вида может быть проведена аналогично рассмотренной. При решении задач этого вида ученики должны выполнять работу с большей долей самостоятельности, поскольку эти задачи сходны с задачами ранее рассмотренного вида (их решение отличается последними действиями: если ранее это было умножение, то здесь – деление). Однако сходство задач приводит к ошибкам: некоторые ученики смешивают решения этих задач, выполняя вместо деления умножение. Одним из средств предупреждения таких ошибок служит решение пар задач различного вида и последующее сравнение самих задач, а также их решений.
Приведем пару таких задач: 1) В столовую в первую неделю привезли 4 одинаковых мешка крупы, а во вторую – 5 таких же мешков. Всего за эти две недели привезли 540 кг крупы. Сколько килограммов крупы привезли в каждую неделю? Сначала находим количество мешков, соответствующих 540 кг, 4+5=9, затем массу одного мешка: 540:9=60 (кг). Теперь находим ответы на вопросы задачи: 60х4=240 (кг) и 60х5=3000(кг).
2) В столовую за две недели привезли 9 одинаковых мешков крупы. В первую неделю привезли 240 кг крупы, а во вторую – 300 кг. Сколько мешков крупы привезли в каждую неделю. Сначала находим массу крупы, соответствующую 9-ти мешкам: 240+300=540 (кг), 540:9=60 (кг), 240:60=4 (мешк.), 9-4=5 (мешк.)
Составив по задачам таблицы, ученики легко установят, в чем их сходство и в чем различие. После решения этих задач дети должны установить сначала сходство решений (обе задачи решаются четырьмя действиями, два первых действия одинаковые), а затем – различие (в первой задаче два последних действия – умножение, а во второй – деление). Заметим, что пары таких задач включены в учебник.
Таким образом, задачи на пропорциональное деление - задачи, включающие в себя две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или более постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Задачи этого вида решаются и по действиям и с помощью составления выражений.
В. Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям
Включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми.
По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Однако в начальных классах ограничиваются рассмотрением двух видов задач.
Сначала рассматриваются задачи I вида, а затем II. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.
В качестве п о д г о т о в и т е л ь н ы х у п р а ж н е н и й к введению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы и простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями, например:
1) Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них больше уплатил денег? Почему? За сколько тетрадей брат уплатил столько же денег, сколько уплатила сестра?
2) Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра, и уплатил на 12 руб. больше, чем сестра. Сколько стоила одна тетрадь?
Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать детям, что брат заплатим столько же, сколько и сестра, и еще 12 руб. Отсюда можно заключить, что три тетради стоят 12 руб., значит, можно узнать, сколько стоит одна тетрадь.
Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин.
После подготовительных упражнений можно перейти к ознакомлению с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям.
Брат и сестра покупали тетради. Брат купил 9 тетрадей, а сестра 6. Брат заплатил на 12 рублей больше, чем сестра. Сколько денег уплатил каждый?
Сначала надо определить количество тетрадей, купленных на 12 рублей: 9-6=3 (тетр.), 12:3=4 (руб.) , 4х9=36 (руб.), 4х6=24 (руб.)
На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать упражнения аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида. По аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решении. Полезны также упражнения по сравнению задач на пропорциональное деление и задач соответствующего вида на нахождение неизвестных по двум разностям.
Итак, задачи на нахождение неизвестного по двум разностям – задачи, которые включают две переменные величины и одну постоянную, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.
ВОПРОС
4) средством развития приемов умственной деятельности.
1) объектом;
3. Ядром − компонентами методической системы обучения математике являются цели, содержание, обучения, __________________________________________и взаимосвязи между ними:
3) организационные формы;
4) 1, 2, 3.
4. Из скольких основных компонентов состоит разработанная А.М. Пышкало методическая система обучения математике:
1) пяти;3) четырех;
5. В примерной программе по начальному курсу математики (ФГОС-2) отдельным разделом не представлен:
1) арифметический материал;
2) материал о величинах;
Алгебраический материал.
4) геометрический материал;
6. Из шести разделов рекомендуемой разработчиками ФГОС-2 примерной программы по математике для начальных классов на основе содержания всех других изучается раздел:
7. Установите соответствие между понятием и компонентом содержания начального математического образования.
1) натуральные числа; а) арифметика;
2) площадь; б) величины;
3) угол; в) элементы геометрии;
4) равенство; г) элементы алгебры;
5)таблица; д) работа с информацией.
8. Изучение математики в начальной школе направлено на достижение следующих целей:
1) математическое развитие младших школьников;
2) освоение начальных математических знаний и умений применять их в решении учебных, познавательных и практических задач;
3) воспитание интереса к математике, стремления использовать математические знания в повседневной жизни;
Верно 1, 2, 3.
9. Математическое развитие обучающихся в начальных классах не предусматривает:
1) совершенствование вычислительной культуры младших школьников;
2) формирование способности к интеллектуальной деятельности;
3) развитие пространственного мышления и математической речи;
4) формирование умения вести поиск информации (фактов, оснований для упорядочения, вариантов и др.).
10. Метапредметными результатами изучения математики младшими школьниками не являются:
1) умения анализировать учебную ситуацию с точки зрения математических характеристик, устанавливать количественные и пространственные отношения объектов окружающего мира;
2) освоенные знания о числах и величинах, арифметических действиях, геометрических фигурах;
3) способность моделировать и определять логику решения практической и учебной задачи;
4) умения планировать, контролировать, корректировать ход выполнения заданий.
Укажите неправильный ответ.
Формы обучения математике в начальных классах включают в себя:
2) домашнюю работу учащихся;
3) работу со счетным материалом;
12. Укажите верное суждение:
1) внеурочная работа — это обязательные систематические занятия педагога с учащимися в свободное от основных занятий время;
2) урок − это основная форма обучения младших школьников математике;
3) к видам внеклассной работы относятся: домашняя работа учащихся, групповая работа, фронтальная работа;
4) основными методами обучения младших школьников математике являются наблюдение и эксперимент.
13. Установите последовательность этапов урока открытия нового:
1) постановка учебной задачи; 2 этап;
2) открытие нового знания; 3 этап;
3) самостоятельная работа с самопроверкой; 5 этап;
4) первичное закрепление; 4 этап;
5) актуализация опорных знаний. 1 этап.
14. Тип и структура урока математики в начальной школе не определяются:
1) дидактическими задачами урока;
2) местом урока в системе уроков по теме;
3) местом урока в расписании;
4) степенью освоения учащимися содержания учебной темы.
Установите соответствие между этапом урока открытия нового знания и его дидактической целью.
1) открытие нового знания;
2) самостоятельная работа с самопроверкой;
3) актуализация опорных знаний;
а) проектирование и фиксация нового знания;
б) формирование навыков самоконтроля и самооценки;
в) содержательная и мыслительная подготовка;
г) рефлексия деятельности.
16. Основной формой обучения математике в начальных классах является:
1) урок;
2) домашняя работа учащихся;
3) внеурочная работа по математике;
17. К систематическим видам внеурочной работы по математике относится:
2) кружковая работа и факультативные занятия;
3) математический утренник;
4) выпуск математической газеты.
18. Укажите неверный ответ. Домашняя работа по математике в начальной школе:
1) является формой самостоятельной работы учащихся;
2) подлежит обязательной проверке учителем или самопроверке;
3) содержит задания только занимательного характера;
4) направлена на тренировку учащихся в известных способах действий.
19. Функциями учебника как основного средства обучения математике в начальной школе являются:
И 3.
20. Укажите неправильный ответ. Содержание начального курса математики построено на следующих принципах:
2) линейности;
3) связи теории и практики;
4) на органичном соединении арифметики, алгебры и геометрии.
21. Построение начального курса математики на системе целесообразно подобранных задач предложил:
1) С.И. Шохор-Троцкий;
Укажите номер неверного ответа.
Выделите функции дидактической игры в процессе обучения математике:
2) обоснование теоретической основы вычислительного приема;
4) воспитание интереса к математике.
23. К какому из компонентов методической системы относятся дидактические игры:
1) средства обучения;
2) методы обучения;
3) организационные формы;
4) содержание обучения.
3) по аналогии;
3) классификация;
26. При оценивании устного выполнения вычислений не учитывается один из следующих критериев:
Аккуратность записи решения.
27. Результативность изучения математики выпускниками начальной школы и их готовность к обучению в 5-м классе определяется:
1) итоговой контрольной работой по математике;
2) комплексной проверочной работой;
3) портфолио успехов по математике обучающихся за 1-4 классы;
Верно 1, 2, 3.
28. Итоговая контрольная работа по математике в 4-м классе содержит 3 группы заданий (выдели неверный ответ):
1) задания игрового или занимательного характера;
2) задания базового уровня сложности;
3) задания повышенной сложности двух видов;
29. Оценка результатов выполнения итоговой за учебный год контрольной работы осуществляется в баллах:
1) по 5-ти бальной шкале с учетом количества допущенных учеником ошибок и недочетов;
2) по 3-х бальной шкале с учетом рекомендаций разработчиков заданий для контроля;
3) по 2-х (0, 1 балл) или 3-х (0, 1, 2 балла) шкалам, при этом подсчитывается суммарный балл, полученный за все задания;
4) способ оценивания может выбрать учитель, ориентируясь на индивидуальные особенности ученика.
30. К средствам обучения математике в начальных классах не относятся:
1) учебники и тетради на печатной основе;
2) наглядные печатные пособия;
3) экскурсии, групповая работа над проектом;
4) компьютеры, проекторы и цифровые образовательные ресурсы.
31. При использовании в обучении младших школьников математике компьютерных программ (презентаций, информационно-обучающих, тестирующих) необходимо предусматривать:
1) ограничение применения ИКТ во времени;
2) смену видов деятельности обучающихся на уроке;
3) организацию валеологических пауз;
4) верно 1, 2, 3;
5) достаточно 1 и 2.
32. Применение компьютерных технологий на уроках математики в начальных классах целесообразно, поскольку создается возможность (укажи неверное):
1) демонстрировать реальные объекты и процессы как учебный материал для построения математических моделей окружающей действительности;
2) организовывать подвижные игры как динамические паузы;
3) осуществлять оперативный контроль и мониторинг овладения обучающимися математическими знаниями и умениями;
4) при необходимости вести поиск информации.
33. Установите соответствие между названием учебно-методического комплекта и фамилией автора учебников математики в этом УМК:
34. Согласно требованиям стандартов второго поколения в содержании начального курса математики выделен новый раздел:
2) работать с диаграммами;
3) вести поиск информации для разрешения проблемы или выполнения задания;
Верно 1 и 2?
9. Цели дифференциации понятий число и цифра не послужит:
1) задание на запись чисел заданными цифрами;
2) изучение понятий однозначное и двузначное числа;
3) знакомство с римской и славянской нумерацией;
4) чтение стихов о цифрах.
10. В курсе математики Н.Б. Истоминой числа первого десятка изучаются не по порядку, а по принципу схожести и трудности написания цифр. Данный подход предусматривает формирование:
1) порядкового натурального числа;
2) натурального числа как меры величин;
3) количественного натурального числа;
4) натурального числа как результата счета и измерения.
11. С целью формирования представлений о десятке как новой счетной единице проводятся упражнения на:
1) счет однородных предметов группами по 2, 3, 4, 5, …, 10 элементов в каждой группе;
2) измерение длин отрезков с помощью дециметра;
3) решение примеров вида: а + b= 10;
4) нет верного ответа.
12. В изучении нумерации чисел первой сотни в учебниках М.И. Моро и др. выделяют следующий порядок:
1) устная и письменная нумерация чисел 11-20, устная и письменная нумерация чисел 21-100;
2) устная нумерация чисел 11-20 и 21-100, письменная нумерация чисел 11-20 и 21-100;
3) устная нумерация чисел 11-20 и 21-100, письменная нумерация двузначных чисел;
4) изучение устной и письменной нумерации чисел 11-20 и 21-100 ведется параллельно.
1) образование чисел от 11 до 20 рассматривается присчитыванием по 1 аналогично обра-зованию чисел первого десятка, а числа 21-100 образуются из десятков и единиц;
2) структура названия чисел 11-20 отличается от структуры названия чисел 21-100: различен порядок называния и записи разрядных единиц;
Незнание алгоритма.
1) на нахождение четвертого пропорционального;
2) на нахождение неизвестного по двум разностям;
3) не является типовой задачей;
4) на пропорциональное деление.
Верно 1 и 4?
10. Какие методические приемы используются в начальном изучении математики при ознакомлении с конкретной величиной:
1) ознакомление с аксиомами, характеризующими величину;
2) практическая работа для сравнения предметов по различным признакам, выделение определенного признака, установление отношений больше, меньше или равно по этому признаку;
3) введение названия величины с опорой на дошкольный опыт обучающихся, обозначающего определенный признак предметов окружающей действительности;
4) рассмотрение исторических сведений об измерении величины;
Верно 2 и 3?
11. Какие методические приемы используются в начальном изучении математики для расширения знаний о величинах:
1) ознакомление с аксиомами, характеризующими величину;
2) практическая работа для установления отношений больше, меньше или равно между предметами окружающей действительности по определенному признаку;
4) рассмотрение исторических сведений об измерении величин;
Верно 3 и 4?
12. Какие методические приемы используются в начальном изучении математики при формировании умения применять знания и умения о величинах в практических ситуациях и в познавательных целях:
1) практическая работа для установления отношений больше, меньше или равно между предметами окружающей действительности по определен-ному признаку;
3) рассмотрение исторических сведений об измерении величин;
4) составление и решение текстовых задач на основе данных об объектах природы, быта и др., о процессах взвешивания, работы, движения и др., обсуждение значений величин, полученных при решении задач;
Верно 2 и 4?
13. Какие из методических приемов не используются в начальных классах при изучении величин:
1) ознакомление с аксиомами, характеризующими величину;
2) практическая работа для установления отношений больше, меньше или равно между предметами окружающей действительности по определенному признаку;
4) сравнение предметов окружающей действительности по определенному признаку;
5) рассмотрение исторических сведений об измерении величин?
1) на теоретическом уровне;
2) на уровне общих представлений и практического применения знаний и умений;
3) на понятийном уровне;
15. Найдите утверждения, подтверждающие, что площадь — это величина:
1) площадь имеют только многоугольники;
2) площадь можно измерить и выразить результат измерения числом;
3) площадь — это место в городе, где проводятся праздники;
4) площадь характеризует свойство предмета занимать место на плоскости (поверхности);
Верно 2 и 4.
16. Установите последовательность этапов работы над определенной величиной:
а)опосредованное сравнение носителей величины с помощью условной мерки;
б)введение стандартной единицы измерения для данной величины;
в) непосредственное сравнение предметов по определенному свойству, характеризующему величину;
г) сравнений числовых значений величины, выполнение арифметических действий с ними;
1) в, а, б, г;
17. Установите последовательность приемов организации работы над определенной величиной:
а)знакомство с измерительными инструментами (линейкой, палеткой и др.), тренировка в измерении величин;
б) сравнение величин визуально, с помощью мускульных усилий, наложением;
в)сравнение, сложение, вычитание однородных величин, умножение и деление величины на число, нахождение кратного отношения величин;
г) измерение величин различными мерками,исследование взаимосвязи между единицей измерения величины и ее числовым значением;
д) практические работы учащихся при введении общепринятых единиц измерения величин ( см, л, кг, см) 2 .
Б, г, д, а, в.
18. Пониманию младшими школьниками взаимосвязи между понятиями: число и величина не способствует:
1) ознакомление с историческими сведениями о величинах;
2) упражнения в измерении величин;
3) построение отрезка по заданной его длине;
4) построение прямоугольника по его перимеру или площади;
5) выполнение заданий на установление соответствия между величиной и её числовым значением.
19. Укажите неверное утверждение. Ознакомление младших школьников со старинными единицами измерения величин (ладонь, локоть, сажень, пуд, фунт и др.) дает учителю возможность:
1) расширить кругозор обучающихся и воспитывать у них интерес к математике;
2) обосновать необходимость введения стандартных (общепринятых) единиц измерения;
3) формировать умение работать на уроках математики в парах и группах;
4) проиллюстрировать прикладную направленности начального курса математики.
20. Укажите неверное утверждение. Обучающиеся выполняют измерение величин с помощью различных мерок с целью:
1) осознания зависимости между меркой и числом, полученным в результате измерения;
2)развития практических умений измерять величины;
3) формирования умений работать в группах;
4) осознания необходимости выбора единой (общепринятой)единицы измерения конкретной величины.
21. Укажите несущественное. Для формирования умения измерять величины младший школьник должен знать:
1) таблицу мер каждой из величин;
2) каким именно прибором измеряют данную величину;
3) шкалу прибора и правила работы с ним;
Верно 1, 2 и 4.
10.Первые представления о форме, размерах и взаимном расположении предметов в пространстве дети получают:
1) в дошкольный период развития математических представлений;
2) с первыхдней обучения ребенка в школе;
3)на внеурочных занятиях;
4) в ходе проектной деятельности;
5) в четвертом классе.
11. Каким геометрическим понятиям даются определения в курсе математики начальной школы:
1) круг и окружность;
2) прямоугольник и квадрат;
3) угол и многоугольник;
4) длина и площадь?
1) формирование понятия, что форма фигуры не зависит от материала, из которого она изготовлена.
2) выявление существенных и несущественных признаков треугольника;
3)развивать умения анализировать геометрические фигуры, сравнивать, классифицировать и т.п.;
Верны утверждения 2 и 3.
5) верны утверждения 1,2 и 3?
13.Укажите среди утвержденийневерные. При формировании представлений о прямой линии у первоклассников полезно решать следующие задачи:
1) сравнивать прямую и кривую линии;
2) ставить точки на прямой и вне прямой линии, устанавливать положение точки относительно заданной прямой линии;
3) проводить прямые и кривые линии через 1,2,3 заданные точки;
Верно 1 или 2.
21. Умение находить периметр многоугольника предполагает владение обучающимся следующими умениями:
1) находить длину ломаной линии; 2) пользоваться линейкой;
3) измерять стороны многоугольника;
4) вычислять сумму нескольких чисел – значений величин;
5) все ответы верны.
1) не отражается общее то, что периметр – это длина границы любой плоской геометрической фигуры;
2) не содержится информация о возможности и способе нахождения периметра круга и других фигур, ограниченных кривой замкнутой линией;
3) нет верного ответа; 4) верны 1 и 2 утверждения.
| Периметр | 24 см | 24 см | … |
| Длина | |||
| Ширина |
Каковы учебные задачи этого задания:
1) актуализация понятия периметр;
2) применение правила нахождения периметра прямоугольника; 3) обучение построению прямоугольников;
4) обучение младших школьников работать с информацией;
5) связь теории и практики в обучении математике;
Все три вида задач содержат по три величины, одна из которых постоянная, а две другие – переменные. Для любого набора трех величин можно составить по 6 разновидностей каждого вида задач.
Названные виды задач различаются своими данными и искомыми.
Задачи на нахождение четвертого пропорционального. В этих задачах даны два значения одной переменной величины и одно значение другой переменной величины, второе значение является искомым (см таблицу 1).
Первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две последние с обратно пропорциональной.
| Величины | ||||
| № | Цена | Количество | Стоимость | Задачи |
| 1. | Постоянная | Даны два значения | Дано одно значение, другое является искомым | В первый день магазин продал 8 одинаковых книг и получил за них 48 рублей, во второй день было продано 6 таких же книг. Сколько денег получили за книги во второй день? |
| 2. | Постоянная | Дано одно значение, другое является искомым | Даны два значения | В первый день магазин продал 8 одинаковых книг и получил за них 48 рублей, во второй день за продажу таких же книг магазин получил 36 рублей. Сколько книг продали во второй день? |
| 3. | Даны два значения | Постоянная | Дано одно значение, другое является искомым | Магазин продал на 48 рублей несколько книг по 8 рублей и столько же альбомов по 3 рубля. Сколько денег получено за альбомы? |
| 4. | Дано одно значение, другое является искомым | Постоянная | Даны два значения | Магазин продал на 48 рублей несколько книг по 8 рублей и столько же альбомов на 18 рублей. Сколько стоит один альбом? |
| 5. | Даны два значения | Дано одно значение, другое является искомым | Постоян- ная | Магазин продал 6 книг по 8 рублей и несколько альбомов по 3 рубля. За все книги получено столько же денег, сколько и за все альбомы. Сколько продано альбомов? |
| 6. | Дано одно значение, другое является искомым | Даны два значения | Постоян- ная | Магазин продал 6 книг по 8 рублей и 16 альбомов. За все книги заплатили столько же денег, сколько и за все альбомы. Сколько стоит один альбом? |
Задачи на пропорциональное деление. Эти задачи включают две переменные величины, связанные пропорциональной зависимостью, и одну или больше постоянных, причем даны два или более значений одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Можно выделить 6 видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две с обратно пропорциональной зависимостью.
В начальных классах решаются задачи на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин. Эти задачи представлены в таблице 2.
| Величины | ||||
| № | Цена | Количество | Стоимость | Задачи |
| 1. | Постоянная | Даны два значения | Дана сумма значений, со- ответствую-щих количе- ству. Найти слагаемые. | Оля купила 5 тетрадей в клетку и 3 тетради в линейку по такой же цене. Всего она заплатила 16 рублей. Сколько стоили тетради в клетку и в линейку в отдельности? |
| 2. | Постоянная | Дана сумма значений, соответствующих коли-честву. Найти сла- гаемые. | Даны два значения | Оля купила тетради в клетку и в линейку по одинаковой цене, всего 8 штук. За тетради в клетку она заплатила 10 рублей, а за тетради в линейку 6 рублей. Сколько было куплено тетрадей в клетку и в линейку в отдельности? |
| 3. | Даны два значения | Постоянная | Дана сумма значений, соответствующих коли-честву. Найти слага- емые. | В магазине продали одина- ковое количество шапок и шарфов. Шапка стоила 50 рублей, а шарф 30 рублей. За все проданные вещи получи- ли 240 рублей. Сколько стоили все шапки и шарфы в отдельности? |
| 4. | Дана сумма значений, соответствующих коли-честву. Найти сла- слаемые. | Постоянная | Даны два значения | В магазине продали одина- ковое количество шапок и шарфов. Шапка с шарфом стоили 80 рублей. За все шапки получили 150 рублей, а за все шарфы 60 рублей. Сколько стоили шапка и шарф в отдельности? |
В начальных классах задачи на пропорциональное деление решаются только способом нахождения значения постоянной величины.
Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является сформированное умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального.
При ознакомлении с задачами на пропорциональное деление лучше предлагать их не в готовом виде, а составить вместе с детьми из задач на нахождение четвертого пропорционального. Это поможет детям увидеть связи между задачами этих видов, что быстрее приведет учащихся к обобщению способа их решения.
Учащимся предлагается составить задачу по ее краткой записи:
| Цена | Количество | Стоимость |
| I. Одинако- II. вая | 7 т. 3 т. | 14 р. ? |
После решения задачи, составленной по данному условию, учитель записывает вместо вопросительного знака число, полученное в ответе (6 р.). Затем он предлагает найти сумму чисел, которые показывают стоимость тетрадей (20 р..), и составить задачу по новому условию:
| Цена | Количество | Стоимость |
| I. Одинако- II. вая | 7 т. 3 т. | ? ] 20 р. ? |
Дети составляют задачу на пропорциональное деление, ставя два вопроса: "Сколько заплатил первый ученик?" и "Сколько заплатил второй ученик?" Учитель поясняет, что эти два вопроса можно заменить одним: "Сколько денег заплатил каждый ученик?" В окончательном виде задача формулируется примерно так: "Два ученика купили тетради по одинаковой цене. Первый купил 7 тетрадей, а второй - 3. Всего они заплатили 20 рублей. Сколько денег заплатил каждый ученик?"
При обучении решению задач этого вида целесообразно при разборе содержания задачи краткую запись составлять в виде таблицы. Кроме этого хорошо использовать и схемы, помогающие детям осмыслить содержание задачи и найти путь решения.
________ ?______ __ ?___
_______ 7т.______ __ 3т.__
Запись решения задачи осуществляется в виде отдельных действий с пояснениями, так как задача содержит два вопроса.
1) 7+3=10 (т.) – стоят 20 рублей.
2) 20:10=2 (р.) – цена 1 тетради.
3) 2×7=14 (р.) – стоят 7 тетрадей.
4) 2×3=6 (р.) – стоят 3 тетради.
Далее включается решение готовых задач. В этом случае надо сначала расчленить вопрос задачи на два вопроса; затем выяснить, какое из искомых чисел должно быть больше и почему; далее перейти к составлению плана решения, ведя рассуждение от вопроса к числовым данным. Проверка решения выполняется способом установления соответствия между числами, полученными в ответе, и данными: надо сложить числа, полученные в ответе, и должно получиться число, данное в задаче.
Возможны и другие подходы к введению задач на пропорциональное деление. Можно, например, начать с решения готовых задач, а позднее выполнить работу по преобразованию задачи на нахождение четвертого пропорционального в задачу на пропорциональное деление, сравнив как сами задачи, так и их решения.
Для обобщения способа решения в дальнейшем включаются задачи на пропорциональное деление I вида с другими группами величин, после чего вводятся задачи II вида, а несколько позднее III и IV видов. При этом наряду с решением готовых задач следует включать упражнения на составление и преобразование задач.
Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям. Эти задачи включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причем даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой
переменной являются искомыми. Можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Однако в начальных классах рассматриваются только два вида задач (см таблицу 3).
| Величины | ||||
| № | Цена | Количество | Стоимость | Задачи |
| 1. | Постоянная | Даны два значения | Дана раз- ность значе- ний, соответ- ствующих количеству. Найти каж- дое значение. | В одном куске 3 м ткани, а в другом – 7 м такой же ткани. Второй кусок стоит на 240 рублей больше первого Сколько стоит каждый кусок ткани? |
| 2. | Постоянная | Дана раз- ность значе- ний, соответ-ствующих количеству. Найти каж- дое значение. | Даны два значения | Для санатория купили два ящика печенья. Один ящик стоил 300 рублей, другой – 180 рублей. В одном ящике было на 6 кг печенья меньше, чем в другом. Сколько печенья было в каждом ящике? |
Сначала рассматриваются задачи I вида, а затем II вида. Эти задачи решаются только способом нахождения значения постоянной величины.
В качестве подготовительных упражнении к введению задач этого типа полезно предлагать задачи-вопросы н простые задачи повышенной трудности, которые помогут детям уяснить соответствие между двумя разностями.
1) Таня купила 6 одинаковых тетрадей, а Маша 4 таких же тетради. Кто из них больше заплатил денег? Почему? За сколько тетрадей Маша заплатила столько же денег, сколько уплатила Таня?
2) Таня и Маша купили тетради по одинаковой цене. Таня купила на 2 тетради больше, чем Маша, и заплатила на 4 рубля больше, чем Таня. Сколько стоила 1 тетрадь?
Выполняя предметную иллюстрацию, надо показать ученикам, что Таня купила столько же тетрадей, сколько Маша, и еще 2 тетради и заплатила денег столько же, сколько Маша, и еще 4 рубля. Отсюда можно сделать вывод, что 2 тетради стоят 4 рубля, значит, можно узнать, сколько стоит 1 тетрадь.
Такие упражнения надо включать с различными группами пропорциональных величин.
Методика работы по ознакомлению с задачами на нахождение неизвестных по двум разностям аналогична методике введения задач на пропорциональное деление: сначала можно предлагать задачи не в готовом виде, а составлять их из задач на нахождение четвертого пропорционального, затем включать готовые задачи, а можно начать с готовых задач.
Пример. Детям предлагается составить задачу по ее краткой записи:
| Цена | Количество | Стоимость |
| I. Одинако- II. вая | 3 м 7 м | 180 р. ? |
После ее решения в краткую запись подставляется число, полученное в ответе, - 420 рублей. Учитель предлагает найти разность чисел, показывающих стоимость (240 рублей). Выясняется, что показывает это число. Учитель выполняет на доске новую краткую запись:
| Цена | Количество | Стоимость |
| II. Одинако- II. вая | 3 м 7 м | ? ? на 240 р. больше |
Дети составляют по кратной записи такую задачу: "В первом куске 3 м ткани, в другом 7 м такой же ткани. Второй кусок стоит на 240 рублей больше первого. Сколько стоит каждый кусок ткани?"
При решении задач этого вида целесообразно использовать и схему.
Выясняется, почему второй кусок стоит больше, чем первый, за сколько метров ткани второго куска заплатили столько же денег, столько за первый, за какую ткань заплатили 240 рублей.
Решение задач этого вида записываются только по действиям. Причем следует учить детей давать пояснения к действиям (особенно к первому так, чтобы легко просматривался следующий шаг в решении задачи).
1) 7-3=4 (м) – стоят 240 рублей.
2) 240:4=60 (р.) – цена 1 метра ткани.
3) 60×7=420 (р.) – стоят 7 метра ткани.
4) 60×3=180 (р.) – стоят 3 метра ткани.
Проверка решения выполняется способом установления соответствия между числами, полученными в ответе, и данными в условии задачи: узнаем, действительно ли второй кусок ткани стоит на 240 рублей больше, чем первый: 420-180=240; значит, можно считать, что задача решена правильно.
Для закрепления умения решать задачи предлагаются готовые задачи на нахождение неизвестных по двум разностям 1 вида с различными группами пропорциональных величин. Аналогично вводятся задачи на нахождение неизвестных по двум разностям II вида. Целесообразно предлагать упражнения на преобразование задач. Например, можно по задаче на нахождение четвертого пропорционального составить две задачи на нахождение неизвестных по двум разностям, решить их и сравнить решения; можно составить по задаче на нахождение четвертого пропорционального задачу на пропорциональное деление и задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, решить их и сравнить решения. Такие упражнения помогают детям увидеть сходство в способах решения.
Презентация "Задачи на пропорциональные величины", 6-7 класс. Простое тройное правило. Сложное тройное правило. Пропорциональное деление. Представлено 6 задач с решением, пояснениями и сюжетными картинками. Для некоторых задач даны различные способы решения. Самостоятельная работа: задачи из действующего учебника на данный учебный год (можно изменить номера заданий). Аналогично, домашнее задание.Презентация "Задачи на пропорциональные величины", 6-7 класс. Простое тройное правило. Сложное тройное правило. Пропорциональное деление. Представлено 6 задач с решением, пояснениями и сюжетными картинками. Для некоторых задач даны различные способы решения. Самостоятельная работа: задачи из действующего учебника на данный учебный год.
Задачи на пропорциональные величины
Задачи Задачи на на пропорциональные величины пропорциональные величины Простое тройное правило Сложное тройное правило Пропорциональное деление
Задачи на пропорциональные величины
Простое тройное правило • Встречается наиболее часто. • Условие: даны 3 числа • Найти: IV число, пропорциональное к ним • 2 случая • Прямая Обратная • пропорциональность
Задачи на пропорциональные величины
№ 1. 10 болтов весят 4 кг. Сколько весят 25 таких болтов? • Такие задачи можно решить несколькими способами. I Способ приведения к 1. • • 1) Сколько весит 1 болт 4 кг : 10 = 0,4 кг • 2) Сколько весят 25 болтов 0,4 кг ∙ 25 = 10 кг • • • • • 25 болтов > 10 болтов в 2,5 раз • • 4 кг ∙ 2,5 = 10 кг II Способ пропорций. 4 25 х 25 10 4 10 III Способ логический 4 кг тяжелее тоже в 2,5 раз (10 кг ) x
Задачи на пропорциональные величины
№ 2. I зубчатое колесо делает 50 оборотов в минуту. II, сцепленное с I, 75 оборотов в минуту. Найти число зубьев II колеса, если у I их 30. I Способ приведения к 1. II Способ пропорций. • • • Оба сцепленных колеса передвигаются за • 1 минуту на одинаковое число зубьев • Число оборотов колес обратно пропорционально 30 зуб .) (20 50 75 числу их зубьев: • 50 об. 30 зуб. x • 75 об. х зуб. • • • в 1,5 раз > I, т.к. 75 : 50 = 1,5 • • 30 зуб. : 1,5 = 20 зуб. III Способ логический II колесо делает оборотов имеет зубьев в 1,5 раз 2) пропорциональных величин надо найти значение одной из них, соответствующее другому ряду данных значений остальных величин, называются задачами на сложное тройное правило. хх
Задачи на пропорциональные величины
№ 3. 5 насосов в течение 3 часов выкачали 1800 ведер воды. Сколько воды выкачают 4 насоса в течение 4 часов? • Способ приведения к 1. • 1) Сколько ведер воды выкачал 1 насос за 3 ч? • 1800 : 5 = 360 (в.) • 2) Сколько ведер воды выкачал 1 насос за 1 ч? • 360 : 3 = 120 (в.) • 3) Сколько воды выкачают 4 насоса за 1 ч? • 120 ∙ 4 = 480 (в.) • 4) Сколько воды выкачают 4 насоса за 4 ч? • 480 ∙ 4 = 1920 (в.) Решение короче:
Задачи на пропорциональные величины
№ 3. 5 насосов в течение 3 часов выкачали 1800 ведер воды. Сколько воды выкачают 4 насоса в течение 4 часов? • Способ пропорций • 5 нас. 3 ч 1800 в. • 4 нас. 4 ч х в. 44 1800 35 x 1920 ( .) в
Задачи на пропорциональные величины
Пропорциональное деление • № 4. Разделить число 100 на 2 части прямо пропорционально числам 2 и 3. • Эту задачу следует понимать так: • Разделить 100 на 2 части, чтобы I относилась ко II, как 2 : 3. • Если обозначить искомые числа х и у, то эту задачу можно сформулировать и так: • Найти х и у такие, чтобы: х + у = 100 • х : у = 2 : 3 • Такие задачи решают по следующему правилу…
Задачи на пропорциональные величины
• Правило. • Чтобы разделить число на части прямо пропорционально нескольким данным числам, достаточно разделить его на сумму этих чисел и частное умножить на каждое из этих чисел. as ba • х + у = s • х : у = a : b x • № 4 y bs ba 100 3 32 60 x 100 2 32 40 y
Задачи на пропорциональные величины
№ 5. Разделить 780 на 4 части пропорционально числам 1,5; 0,75; 0,4 и 1,25. • Пусть искомые числа: x, y, z, v, • Тогда: x : y : z : v = 1,5 : 0,75 : 0,4 : 1,25 • Заменим отношение дробных чисел отношением целых чисел, умножив правую часть на 2: • x : y : z : v = 30 : 15 : 8 : 25 • x = 10 ∙ 30 = 300 • y = 10 ∙ 15 = 150 • z = 10 ∙ 8 = 80 • v = 10 ∙ 25 = 250 780 15 8 25 30 10
Задачи на пропорциональные величины
Чтобы разделить число на части обратно пропорционально числам, надо разделить его прямо пропорционально числам, обратным данным. • Разделить число 52 на 3 части обратно пропорционально числам 4, 6 и 8.
Задачи на пропорциональные величины
Читайте также: