Применение листа мебиуса в архитектуре

Обновлено: 05.10.2024

В этом учебном году мы впервые, вместо привычной для нас математики, стали изучать такие предметы, как геометрия и алгебра. Недавно мы узнали, что математика имеет еще один очень интересный раздел – топология. Топология – это раздел математики, изучающий фигуры, которые сохраняют свои свойства при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание. Нам стало интересно, как выглядят эти загадочные фигуры, так мы узнали о существовании ленты Мебиуса.

В настоящее время, очень популярны нестандартные задачи, нестандартные решения и применения, мы считаем, что лента Мебиуса относится к разряду таких применений, поэтому, считаем, что выбранная нами тема актуальна.

Мы решили провести исследование и выявить интересные свойства листа Мёбиуса. Так возникла идея проведения исследовательской работы, в которую вошли бы теоретический материал и эксперименты. Мы также сочли важным показать, что наука полна неожиданностей на примере открытия А.Ф. Мёбиуса, его знаменитого бумажного кольца с сюрпризами. Мы предполагаем, что лист Мёбиуса, как топологическая фигура, обладает действительно неожиданными свойствами.

Исследовательский проект по содержанию является монопредметным (математика), по стилю исполнения межпредметным (математика, информатика).

2.1 Историческая справка. А. Ф. Мёбиус и его открытие

А. Мёбиус родился 17 ноября 1790 года на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга. Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера. Отец умер, когда Августу было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу высказал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в колледже, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. В этом выборе сказалось влияние преподававшего там известного астронома и математика Моллвейде. С 1816 года Август Мёбиус работал сначала астрономом-наблюдателем, затем директором в Плейсенбургской астрономической обсерватории (недалеко от Лейпцига). ( Приложение 2. 1)

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") в 1858 г . придумал не сам немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус, а его горничная. ( Приложение 2. 2)

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, претендовавшего на зачисление в цех, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Оценили по достоинству невольное изобретение Марты и учителя. Неугомонным нерадивым ученикам предлагалось покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера), – две стороны.

2.2. Что такое лист Мёбиуса?

Самое же удивительное, пожалуй, то, что мы смогли её сделать своими руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и для ясности обозначим углы с одной стороны ленты А и В, а с другой - С и Д. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180 о . Точка С наложится на точку А, а точка Д - на точку В.

2.3. Топология как наука.

Изучая литературу, мы поняли, что открытие листа Мёбиуса дало толчок развитию нового раздела геометрии-топологии. Удивительные свойства листа Мёбиуса - он имеет один край, одну сторону, - не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.

С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг.

2.4. Свойства листа Мёбиуса

Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы разделить на две части кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей.

А лист Мёбиуса? Если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. ( Приложение 3.3)

Для изготовления лист Мёбиуса , нужно взять два конца ленты, перекрутив одну сторону на 180º, и склеить их. ( Приложение 4.1)

Что получится, если обыкновенное (не перекрученное) бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? Очевидно – два кольца. А если вы разрежете лист Мебиуса вдоль его средней линии, то вместо двух лент получится одна длинная лента с двумя полуоборотами. ( Приложение 4. 2.)

Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна - более тонкая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами. ( Приложение 4.3)

Если разрезать ленту на четыре равные части, то мы получим две ленты с двумя полуоборотами. ( Приложение 4. 4)

Чтобы доказать, что лента Мёбиуса односторонняя поверхность, нужно поставить в любую точку карандаш, маркер и т. д. и не отрывая, вести до того момента, пока вы не придёте в тоже место, откуда начинали. ( Приложение 4.5) Результаты мы вставили в таблицу.

1) Поставили точку на одной стороне обычного кольца и начертили непрерывную линию вдоль него, пока не пришли снова в отмеченную точку.

2) Поставили точку на одной стороне листа Мёбиуса и начертили непрерывную линию вдоль него, пока не пришли снова в отмеченную точку.

1) Линия проходит вдоль кольца по одной стороне, приходит в начальную точку. Вторая сторона остаётся чистой.

3) Получилось два кольца, уже, чем исходное, длина окружности которого такая же, что и у первоначального.

4) Получилось одно кольцо в виде восьмёрки. Дополнительное исследование показало, что оно не является листом Мёбиуса.

5) Получили два сцепленных друг с другом кольца: одно маленькое - лист Мёбиуса,
другое большое – перекрученное на 360 градусов ( не лист Мёбиуса)

6) Получилось 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено (не является листом Мёбиуса); другое лист Мёбиуса.

В 1923году выдан патент №1442632 знаменитому американскому изобретателю Ли де Форс, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон – это лента Мёбиуса ( Приложение 5.1)

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин получил авторское свидетельство №236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающими обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мёбиуса на два вращающих ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Такая лента служит в двое больше обычной.(Приложение 5.2)

Ленточный конвейер в виде ленты Мебиуса может работать дольше, он равномерно изнашивается с двух сторон.

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. (Приложение 5.3)

Силовая конструкция (квадратная), мешалка (большая круглая), винты, испытывающиеся на модели судна (два маленьких круглых). (Приложение 5.4)

Аттракцион “Американские горки” напоминает форму листа Мебиуса. В Москве находятся самые большие в мире горки такого вида. (Приложение 5.5)

Книжная полка Infinity: Дизайнер Джобс Келевий сломал форму, когда разрабатывал свой книжный шкаф Инфинити. Используя знак бесконечности и что-то похожее на ленту Мебиуса, в полке Инфинити дизайнер воплотил физическое представление о бесконечности. Это значит, что если вы прочитали все книги этой полки, считайте, что вы постигли всю бесконечность литературы. (Приложение 5.6)

Компания BIG Architects представила невероятный проект новой библиотеки, который будет служить в качестве многофункционального культурного центра Астаны, Казахстан.

Названная в честь Нурсултана Назарбаева, первого президента республики Казахстан, новая библиотека будет охватывать не только книги, но и пространство и время. Проект включает 4 архетипа – круг, ротонда, арка и юрта – которые сливаются в форму листа Мёбиуса. В процессе проектирования BIG так же применяла высокотехнологическое моделирование для вычислений теплового воздействия на оболочку здания и максимального затенения. (Приложение 5.7.)

Само по себе здание сложное сопоставление различных идей и концепций. Оно образует спиральную окружность вокруг крепкого вертикального стержня, который позволяет посетителям библиотеки передвигаться между этажами. Изгибы здания образуют лист Мёбиуса, таким образом, внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно. Подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены. Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения. (Приложение 5.8)

В китайской провинции Хунань появится огромный пешеходный мост в виде ленты Мебиуса. Его проектировщики, голландское архитектурное бюро Next, утверждают, что ничего подобного в мире еще не было.

Мост будет возведен над рекой в Мейкси-Лейк - китайском "городе будущего", сообщает Fox News. Это экспериментальный проект, который пока находится в стадии конструкции. Предполагается, что Мейкси-Лейк станет идеальной зеленой зоной с экологичными зданиями и оживленным деловым районом. Город построен на множестве искусственных рек, над одной из которых и появится мост.

По словам архитекторов из Next, на создание проекта их вдохновила не только лента Мебиуса, но и старинная китайская живопись, где часто встречается орнамент из узлов. Мост будет построен из стали, выкрашенной в красный цвет, и составит 24 метра в высоту и 150 метров в длину. У него будет несколько уровней на разных высотах, переходящих друг в друга. Несмотря на свою экзотичность, мост должен стать очень практичным и удобным для прогулок.

Интересная вещь шарф Мёбиуса появившаяся в гардеробах 21 века. Шарф Мёбиуса можно сделать самому связав концы шарфа, перекрутив на один оборот. (Приложение 5.11)

Лист Мёбиуса считают символом современной математики, так как именно он дал толчок новым математическим исследованиям. (Приложение 5.12)

Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой…правильно, зеркального своего двойника.

Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, согласно теории относительности, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

Как зарождаются ленты Мебиуса, наверняка можно наблюдать где-то в природе. Где может происходить вращение по кругу с заворотом во внутрь?

Возможно, это водовороты, образованные при слиянии двух рек, одной стремительной, а другой тихой. Медленное течение тормозит быстрее, вода заворачивается по кругу и уходит вглубь. Это место очень опасное, человека, попавшего в такую воронку, может затянуть на глубину. Смерчи, ураганы и тайфуны – это пересечение ветров. Тогда возможно и такое: встретятся две линии магнитных потоков и образуют магнитную систему в форме вращающегося диска. Если на него падают лучи Солнца, он воспринимается, как летающая тарелка. Эти магнитные волчки могут катиться по поверхности, подпрыгивать, раскачиваться, проникать вглубь, подниматься вверх и улетать в Космос, они то и могут оставлять рисунки на полях. Если в такой путешествующий магнитный клубок врежется самолет, у него могут отказать приборы. Бермудские треугольники, путешествующие по океану, Черные Дыры в Космосе – все это те же пространственные магниты.

Человек – это тоже вихрь, стоящий на пересечении двух направлений: вертикальной линии взаимодействия между Землей и другими планетами и горизонтальной линии вращения Земли. Выходит, что и любой предмет – это разновидность одной и той же организации.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти: спираль замыкается сама на себя, и происходит самоуничтожение.(Приложение 6.1)

Создаваемые системы в пространстве далеко не всегда имеют правильную форму. Их могут заворачивать не только два пересекающихся направления. Здесь может происходить нечто более сложное, мудреная конфигурация предмета определяет совокупность составляющих его систем.

Если у человека есть сердце, то Сердце есть и у Вселенной. Кровеносная система устроена таким образом, что путь любой клетки крови обязательно проходит через сердце. Сердце должно быть соединено с каждой точкой своей системы лентой Мёбиуса.

Почему она названа лентой, ведь через точку может проходить только линия? Но тогда мы не сможем наблюдать, как эта замкнутая линия разворачивается. Лента – это линия, но обладающая свойствами плоскости. Что же производит разворачивание этой ленты на сто восемьдесят градусов? Вращательное движение. То самое движение, которое запущено во всей Вселенной: вращает Луну вокруг Земли, Землю вокруг Солнца, электрон вокруг ядра атома и т.д.

Любое поступательное перемещение должно всегда быть вращательным – это движение по ленте Мёбиуса большого радиуса. Любая лента Мёбиуса тоже в свою очередь вращается относительно определенной оси.

Если Лист Мёбиуса мы резали вдоль и поперёк. Что же будет, если разрезать Бутылку Клейна? Это невероятно, но получился Лист Мебиуса. Резать, правда, нужно так, что бы режущий предмет делал оборот в 360 градусов между начальной точкой и конечной. Поскольку бутылку Клейна можно разрезать так, чтобы получились два листа Мебиуса, должна существовать и обратная операция, о которой говорится в следующем шуточном стихотворении неизвестного автора:

Лента Мёбиуса понравилась не только математикам, но и фокусникам. Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где показывались аттракционы, в которых использовались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса.

Лист Мёбиуса в творчестве Мауриса Корнелиса Эшера

Образ ленты Мёбиуса, как символа бесконечности, вдохновлял многих художников. Особенно известны работы нидерландского художника Мауриса Эшера

Лист Мёбиуса в современном искусстве

Конечно же, главная ценность листа Мёбиуса состоит в том, что он дал толчок новым обширным математическим исследованиям. Именно поэтому его часто считают символом современной математики и изображают на различных эмблемах и значках, как, например, на знаке механико-математического факультета Московского университета, как логотип журнала "Квант" или как знак бесконечной переработки.

Идеи листа Мёбиуса в ювелирных украшениях

Загадочная и удивительная лента Мёбиуса привлекает внимание. Взгляд как бы скользит вдоль бесконечной ленты. Это используют ювелиры в изготовлении как недорогой бижутерии, так и самых дорогих ювелирных украшений.

Лист Мёбиуса вокруг нас

Лента Мёбиуса известна далеко не всем людям, но она является частью того, что нас окружает. Просто удивительно, как часто мы в повседневной жизни сталкиваемся с лентой Мёбиуса, даже не подозревая об этом!

Лист Мёбиуса в архитектуре

Этот удивительный буддийский храм, который уже в скором времени будет построен в Тайчанге (Китай), принимает форму ленты Мебиуса, отражающей основные принципы буддизма и идею реинкарнации.

Необычная прогулочная дорожка появилась парке на окраине Роттердама. Создано необычное творение, напоминающее ленту Ме биуса, дизайнерами из студии NEXT Architects.

Лист Мёбиуса в городском дизайне

Идея листа Мёбиуса вдохновляла и продолжает вдохновлять многих архитекторов и дизайнеров. Изображения этой удивительной и загадочной ленты можно увидеть в различных объектах городской архитектуры современных городов. Например, лист Мебиуса недалеко от набережной в Астане

Оказывается, есть своё изображение листа Мёбиуса и в Минске, во дворе Национальной академии наук. Многие даже не подозревают о существовании достопримечательности, которая скрывается в обыденном и ничем не примечательном академическом дворике.

Памятный знак "Лист Мёбиуса" в Германии во Франкфурте-на-Майне.

Похожие элементы городского дизайна есть в самых разных странах.

Лист Мёбиуса в природе

Самое удивительное, что объекты, напоминающие ленту Мёбиуса, можно увидеть и в природе.

Существует гипотеза, что вся наша Вселенная, вполне вероятно, замкнута в ту же самую ленту, согласно теории относительности – чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Более того, эта гипотеза согласуется с предположением Эйнштейна, что космический корабль, все время летящий прямо вперёд, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной. Есть также гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса, и поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия.

Исследовательская работа на данную тему была написана учеником 5 класса Белимовым Дмитрием. В работе представлена история появления листа Мёбиуса, его свойства и использование его в архитектуре, живописи, скульптуре.

Вложение	Размер
belimov_dmitriy_aleksandrovich.doc	213 КБ

Предварительный просмотр:

Белимов Дмитрий Александрович

Россия, Тюменская область, Сладковский район, с. Усово,

МАОУ Сладковского района Усовская СОШ, 5 класс

Интересность ленты заключается уже в том, что в отличие от обыкновенного листа бумаги она имеет только одну поверхность, а не две. То есть, если начать закрашивать лист бумаги, не переходя через грань, то закрасится только одна сторона. Если проделать то же самое с лентой Мёбиуса, лента закрасится с обеих сторон.

Загадки продолжаются, и когда мы начинаем разрезать ленту Мёбиуса. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства.

Меня так заинтересовал этот лист, что я стал искать про него разную информацию и проводить с ним разные опыты, о результатах которых я вам расскажу в своей работе.

Цель работы: Исследование поверхности листа Мёбиуса и его свойств.

Познакомиться с историей появления листа Мёбиуса.
Установить области применения листа Мёбиуса.
Выявить и исследовать свойства листа Мёбиуса опытным путем

Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.

Предмет исследования: свойства односторонний поверхности на примере ленты Гипотеза : как это ни удивительно, но односторонние поверхности существуют.

Метод исследования : теоретический, практический эксперимент.

Теоретическая значимость нашей работы в том, что в последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии .

Топология (от греч. tоpos — место) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела).

Понятие и теоремы топологии полезны во всех областях математики, в технике, в экономике, психологии.

Топология – одна из наук, в которых не решены многие проблемы. Быть может, кто-то внесёт свой вклад в её развитие.

3. Применение Листа Мёбиуса.

3.1.Лист Мёбиуса в науке и технике.

Существовали технические применения ленты Мёбиуса. Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.

В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка (приложение 1). В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета

3.3. Лист Мёбиуса в литературе и цирковом искусстве.

Фокусники используют лист Мебиуса уже на протяжении 75 лет. Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивание. Второе кольцо получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180 0 . Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса. Кстати, вы даже можете придумать их сами!

4. Мои эксперименты.

Бумажное кольцо лист Мёбиуса

Для определения необычных свойств листа Мёбиуса мы провели э ксперименты с бумагой.

Все эти опыты проводим с помощью ножниц и клея.

Поверхность кольца, надеваемого на палец, имеет две стороны. Одной стороной кольцо соприкасается с пальцем, вторая сторона – наружная. У этих сторон две границы (два края), каждая имеет форму окружности. Если какое-нибудь насекомое захочет переползти с наружной стороны кольца на внутреннюю, то она при этом непременно должна пересечь ту или иную границу.

Легко приготовить простую модель односторонней поверхности. Возьмем бумажную ленту, повернем один ее конец на пол-оборота (на 180 градусов), а потом склеим его с другим концом. Получим ленту Мёбиуса. (Приложение 2)

Эксперимент 1. Она имеет только одну сторону (возьмем фломастер и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вернемся в то место, откуда начали. Закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь мы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса – односторонняя.) (Приложение 3)

Эксперимент 2. А еще, из свойств, следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. Сначала разрежем по середине. Сейчас получиться два отдельных кольца. Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше первоначального кольца. (Приложение 4)

Эксперимент 3. Если разрезать ленту на расстояние 1/3 ее ширины от края, то получиться два кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним маленькое. (Приложение 5)

Эксперимент 4. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль, посередине, то у вас окажется весьма "затейливое” переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине. (Приложение 6)

Эксперимент 5. Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (т.е. на 360градусов)? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

Эксперимент 6. Свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой. (Приложение 7)

Эксперимент 7. Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать кольца по очереди – и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

5. Экспериментальные выводы.

Итак, на основе проведенных мною теоретических и практических исследований можно сделать следующие выводы:

Лента Мёбиуса имеет 1 край.
Лента Мёбиуса имеет одну поверхность.
Лента Мёбиуса имеет одну искривленную поверхность, и если по ней двигаться, можно с внутренней части переместиться на внешнюю.
Если закрашивать одну сторону ленты Мёбиуса, не пересекая края, то в итоге закрасится вся поверхность ленты.
Если пустить по поверхности ленты Мёбиуса, движущиеся объекты, они будут двигаться бесконечно долго.
Лента Мёбиуса получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины.
Если допустить, что можно взять квадрат или прямоугольник любого размера и при этом можно сгибать бумажную поверхность, то мы сможем склеить ленту Мёбиуса.
Если разрезать ленту Мебиуса вдоль посередине параллельно краю, то можно получить не две отдельные ленты, а одну длинную ленту, которая будет уже исходной и дважды перекручена – но не лента Мебиуса.
Если разрезать ленту Мебиуса вдоль, отступив от края 1/3 ее ширины, то получится два кольца, сцепленные между собой, одно большое – не лента Мебиуса, другое маленькое – лента Мебиуса.
Тема ленты Мебиуса пользуется популярностью у творческих личностей: в мире существует множество художественных произведений посвященных этой теме (литература, скульптура, живопись, графика и т.д.).(Приложение 8)

В результате исследования гипотеза подтвердилась: лист Мёбиуса – односторонняя поверхность. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, и по – прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, художников.

В ходе данного исследования была найдена и переработана разнообразная информация, посвященная объекту исследования: справочная литература, источники сети Интернет, работы учащихся.

Был получен интересный математический материал. Своими результатами исследования о ленте Мебиуса мы поделился с одноклассниками. Данной темой многие обучающиеся заинтересовались. Материал исследовательской работы будет полезен любителям математики для расширения математического кругозора. Его можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

Опыты с лентой Мёбиуса не исчерпаны. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения.

Интересность ленты заключается уже в том, что в отличие от обыкновенного листа бумаги она имеет только одну поверхность, а не две. То есть, если начать закрашивать лист бумаги, не переходя через грань, то закрасится только одна сторона. Если проделать то же самое с лентой Мебиуса, лента закрасится с обеих сторон.

Содержимое разработки

Международная научно-практическая конференция

студентов и учащихся

Секция: математика

Удивительная лента Мёбиуса

Исследовательская работа

Выполнила: ученица 8 класса

МБОУ «СОШ им. Г.Г.Гарифуллина

Башарова Фирюза Маратовна.

Научный руководитель: учитель

математики Файзрахманова Г.З.

1. Мёбиус Август Фердинанд………………………………………………..5

4. Уравнения листа Мебиуса………………………………………………. 11

6. Применение листа Мебиуса

6.1. Лист Мебиуса в науке и технике……………………………………. 13

6.2. Лист Мебиуса живописи и архитектуре……………………………. 13

6.3. Лист Мебиуса в литературе и цирковом искусстве………………….14

6.4. Лист Мебиуса в искусстве……………………………………………..15

Список использованной литературы……………………………………….. 25

Интересность ленты заключается уже в том, что в отличие от обыкновенного листа бумаги она имеет только одну поверхность, а не две. То есть, если начать закрашивать лист бумаги, не переходя через грань, то закрасится только одна сторона. Если проделать то же самое с лентой Мебиуса, лента закрасится с обеих сторон.

Нас так заинтересовал этот лист, что мы стали искать про него разную информацию и проводить с ним разные опыты, о результатах которых я расскажу в своей работе.

Отсюда, объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности. Предмет исследования: свойства односторонний поверхности на примере ленты Мёбиуса

-определить и опытно – экспериментальным путём проверить удивительные свойства ленты Мёбиуса.

В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи:

- раскрыть понятие топологии;

-изучить вклад А.Ф. Мёбиуса в развитие науки топологии;

- описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления;

- показать использование листа Мёбиуса в искусстве;

- разработать методику определения удивительных свойств листа Мёбиуса;

- проверить опытно-экспериментальным путём эти свойства.

Метод исследования: практический эксперимент.

1. Мёбиус Август Фердинанд

Одним из великих геометров XIX столетия был Август Фердинанд Мёбиус(1790-1868) - немецкий математик и астроном - теоретик. Родился 17 ноября 1790 года на территории княжеской школы Шульпфорте, близ Наумбурга (Саксония-Анхальт). Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера. Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу показал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в колледже Шульпфорте, затем поступил в Лейпцигский университет. Первые полгода, в соответствии с рекомендациями семьи, он изучал право, но затем принял окончательное решение посвятить жизнь математике и астрономии. В 1813—1814 годах Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Халле, чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знания по астрономии и математике. Когда Мёбиус работал над докторской (1815 год), была сделана попытка призвать его в прусскую армию. С трудом, избежав этой угрозы, он успешно получил докторское звание. Математические исследования Мёбиуса принесли ему известность в научном мире. В 1848 году Мёбиус становится директором обсерватории.

2. Открытие Мебиуса

Что же подтолкнуло Мебиуса к этому открытию? Есть три версии:

2. Придумал ленту Мёбиус, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.

3. Виноват во всём портной, который неправильно вшил манжет рубашки

Позже эта поверхность была названа лентой Мебиуса. В 1868 году Август Фердинанд Мёбиус умирает. Статья о знаменитой ленте Мёбиуса опубликована посмертно.

Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса — Иоганн Бенедикт Листинг (1808— 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус,— в 1862 году.

Что же это за поверхность – лента Мебиуса? Самое удивительное то, что сделать её своими руками совсем несложно: надо лишь взять полоску бумаги и склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180 о . И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. (Приложение №1)

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса имеет удивительные свойства: он имеет один край; одну поверхность. Действительно, начав закрашивать лист с любого места, можно убедиться, что постепенно вся поверхность будет закрашена. “Если на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружную – муху и разрешить ползать как угодно, запретив лишь перелезать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи, не так ли? (Приложение№2) А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если конечно, паук ползает быстрее. Так изучение свойств именно этой поверхности во многом положила начало развитию новой ветви геометрии – науки топологии. В Вашингтоне у входа в Музей истории и техники установлен вращающийся монумент этой поверхности – стальной ленты закрученной на полвитка.

Лист Мёбиуса - один из объектов топологии. Интересно, что с точки зрения топологии гайка, макаронина и кружка - одинаковые объекты. Их роднит то, что каждый из них имеет одно и только одно отверстие. Если бы мы из пластилиновой гайки, не разрывая и не склеивая пластилин, захотели вылепить макаронину или кружку, то нам бы это удалось. А вот кастрюлю с двумя ручками уже не вылепить (в ней две дырки-ручки).Среди букв русского алфавита тоже есть топологически одинаковые буквы. (Приложение№3)

Физики пришли к выводу, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в ту же самую ленту согласно теории относительности Эйнштейна и его предположением, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, что подтверждает неограниченность и конечность Вселенной, изогнутой в пространстве большого числа измерений.

3. Свойства листа Мебиуса

Какими же свойствами обладает этот замечательный лист? (Прилож. №4)

1)Возьмем карандаш и начнем закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре мы вернемся в то место, откуда начали. Закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь мы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса - односторонняя. Такое вот любопытное свойство!

Что же из этого свойства следует? А следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. При разрезании точно посередине, мы получили большое перекрученное кольцо. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получаются два кольца - но! - одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то получаются переплетенные два кольца - одинаковых по размеру, но разных по ширине. Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с двумя полуоборотами, то получится два одинаковых кольца, сцепленных между собой. Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, последовательно два раза, то получится четыре кольца, сцепленных между собой. Разрез ленты Мёбиуса с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

3)Еще одно интересное свойство – связность. Если квадрат разрезать бритвой от стороны к стороне, то он распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат– односвязен, кольцо и оправа от очков – друсвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны. Ну, а лист Мёбиуса? Конечно двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится односвязным. Три оборота – связность снова равна двум. Связность принято оценивать числом Бетти, названным так в честь известного итальянского математика и физика. Иногда пользуются другой величиной – эйлеровой характеристикой – с той же целью: определить число сквозных, от края и до края, разрезов, которое выдерживает фигура, не распадаясь при этом на части.

4)Ориентированность - это то, чего нет у листа Мёбиуса! Вообразите, что в нём заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – несимметричные рожицы, не имеющие, как и сам лист никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам листа Мёбиуса и вернутся в начальную точку, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё это случится только, если они живут в листе, а не на нём.

Читайте также: