Сопромат способ выравнивания постоянных интегрирования на участках

Обновлено: 19.09.2024

Под действием внешних сил, расположенных в одной из главных плоскостей прямой балки, ее ось искривляется в той же плоскости; при этом точки оси перемещаются.

Изогнутая ось балки называется упругой линией, а перемещения точек оси балки по нормали к ее недеформированной оси называются прогибами балки (прогибами оси балки или прогибами сечений балки). Обозначим прогибы балки у.

На рис. 68.7 изображена прямая ось недеформированной балки и ось, изогнутая нагрузкой, действующей на балку. Прогибы точек 1 и 2 оси балки в действительности весьма малы по сравнению с длинои балки, а потому их принято изображать в более крупном масштабе, чем длину оси.

Длина оси балки при изгибе остается неизменной, так как ось расположена в нейтральном слое, а нормальные напряжения в поперечных сечениях балки в уровне этого слоя равны нулю.

Искривление оси балки вызывает не только прогибы, но и смещения точек оси по горизонтали. Эти смещения, как правило, весьма малы по сравнению не только с длиной балки, но и с прогибами ее оси; поэтому ими при расчетах пренебрегают.

При деформации балки ее поперечные сечения не только поступательно смещаются, но и поворачиваются. Пренебрегая деформациями сдвига, можно считать угол поворота поперечного сечения балки равным углу между касательной, проведенной к изогнутой оси балки в этом сечении, и недеформированной осью балки (рис. 69.7), т. е. углу поворота оси балки.

Выберем прямоугольную систему координат с началом О на левом конце оси балки. Ось х направим вправо (вдоль недеформированной оси балки), а ось - вверх (рис. 70.7).

Прогибы балки (прогибы оси) будем считать положительными, если точки ее оси смещаются при деформации вверх. Углы поворота положительны, если поперечные сечения при деформации поворачиваются против хода часовой стрелки. Прогибы и углы поворота, показанные на рис. 68.7, 69.7 и 70.7, отрицательны. Прогибы оси балки измеряются в мерах длины (см, мм и т. д.), а углы 0 поворота поперечных сечений в радианах.

Плоскости двух смежных поперечных сечений деформированной балки, отстоящих друг от друга на расстояние пересекаются в центре кривизны участка оси балки. Расстояние от центра кривизны до оси балки называется радиусом кривизны оси (см. рис. 70.7). В § 7.7 получена формула (16.7), выражающая связь между радиусом кривизны оси балки, изгибающим моментом в поперечном сечении балки и жесткостью поперечного сечения при изгибе:

Отношение представляет собой кривизну оси балки.

Из курса высшей математики известна зависимость между радиусом кривизны плоской кривой и координатами и у ее точек:

Подставим в выражение (65.7) значение по формуле (16.7):

Первая производная входящая в знаменатель формулы (66.7), представляет собой тангенс угла Ф между осью и касательной к упругой линии. Практически углы Ф весьма малы: они, как правило, менее 0,01 радиана. Поэтому выражение в формуле (66.7) не превышает 1,0001, т. е. практически не отличается от единицы, в связи с чем величиной можно пренебречь.

Тогда уравнение (66.7) примет вид

Как было указано выше, Так как углы О весьма малы, то можно принимать

На рис. 71.7 показан участок изогнутой оси балки. Первая производная этом участке возрастает с увеличением абсциссы х. Следовательно, вторая производная на этом участке положительна. Для того чтобы могла возникать деформация участка показанная на рис. 71.7, необходимо, чтобы изгибающий момент М в сечениях этого участка балки был положителен.

Уравнение (68.7) называется основным дифференциальным уравнением изогнутой оси балки. Оно является приближенным, так как при его выводе точное выражение кривизны оси заменено приближенным. Кроме того, не учтены деформации балки, связанные с наличием поперечных сил. Определение прогибов и углов поворота поперечных сечений балок, выполненное с учетом влияния поперечных сил, показывает, что в подавляющем большинстве случаев это влияние несущественно и им можно пренебречь.

Проинтегрировав выражение (68.7), получим уравнение углов поворота сечений балки

Интегрируя второй раз, получаем уравнение прогибов (уравнение упругой линии):

Изгибающий момент М, входящий в эти уравнения, является функцией координаты поперечного сечения балки.

Для балки постоянного сечения и, следовательно,

Уравнения (71.7) и (72.7) служат для определения углов поворота и прогибов поперечных сечений балок.

В эти уравнения входят постоянные интегрирования С и D, которые можно определить из граничных условий. Порядок определения линейных и угловых перемещений поперечных сечений балок с помощью уравнений (71.7) и (72.7) рассмотрим на конкретных примерах.

Определим прогибы и углы поворота поперечных сечений балки на двух опорах, нагруженной сплошной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 72.7).

Изгибающий момент в сечении балки с абсциссой х

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение упругой линии (68.7):

Проинтегрируем это уравнение дважды:

Для определения постоянных интегрирования С и D используем граничные условия: на концах балки (при ) ее прогибы равны нулю, так как в этих сечениях балка опирается на жесткие шарнирные опоры (см. рис. 72.7). Подставим значения в последнее выражение:

Полученные значения подставим в выражения Ф и у:

По этим уравнениям можно определить прогиб у и угол поворота Ф любого поперечного сечения балки. Практическое значение имеет наибольший (по абсолютной величине) прогиб. Для определения абсциссы сечения, в котором возникает такой прогиб, следует приравнять нулю производную т. е. приравнять нулю угол поворота

Решать это уравнение (третьей степени относительно неизвестного в данном случае не является необходимым, так как балка симметрична относительно своей середины (см. рис. 72.7), а потому угол поворота посредине балки равен нулю. Действительно, подставим в последнее уравнение значение

Наибольший (по абсолютной величине) прогиб (посредине балки) найдем, подставив в выражение у значение

Угол поворота сечения на левой опоре получим из выражения приняв в нем

Угол поворота сечения на правой опоре получим, подставив в то же выражение значение

Углы поворота , сечений на левой и правой опорах равны друг другу по величине и обратны по знаку (см. рис. 72.7).

Заметим, что постоянные интегрирования С и D представляют собой углы поворота и прогиб поперечного сечения балки при т. е.

Определим прогибы и углы поворота поперечных сечений балки, заделанной левым концом и нагруженной по всей длине равномерно распределенной нагрузкой а на правом конце сосредоточенной силой Р (рис. 73.7).

Изгибающий момент в сечении балки с абсциссой

Здесь - реактивный (опорный) момент; — вертикальная опорная реакция.

Дифференциальное уравнение (68.7) для данного случая принимает вид

Интегрируем это уравнение дважды:

Постоянные С и D определяются из условий закрепления левого конца балки. Здесь (при ) прогиб и угол поворота сечения равны нулю (см. рис. 73.7). Подставим значение в выражения для и у:

Окончательно уравнения углов поворота и прогиба балки принимают вид:

Наибольший прогиб и наибольший угол поворота возникают на свободном конце балки, т. е. при

В частных случаях: если действует одна - только сила Р, т. е. , то

если действует одна лишь равномерно распределенная нагрузка q, т. е. то

Определим прогибы и углы поворота поперечных сечений балки на двух опорах, нагруженной сосредоточенной силой Р на расстоянии а от левой опоры (рис. 74.7). Балка имеет два участка.

Изгибающие моменты в сечениях участка (т. е. при ) и в сечениях участка (т. е. при ) равны

Так как выражения изгибающих моментов для участков I а II различны, то и уравнения упругой линии на участках различны. Поэтому интегрирование уравнения (68.7) производим раздельно для каждого из участков.

Для участка I уравнение (68.7) принимает вид

интегрируем его дважды:

Для участка II уравнение (68.7) принимает вид

интегрируем это уравнение дважды:

Здесь применен так называемый прием Клебша, состоящим в следующем: при интегрировании выражение заменяется выражением так как и интегрирование ведется без раскрытия скобок. Таким образом,

В полученные уравнения для углов поворота и прогибов балки входят четыре постоянные. При их определении используем условия для концов балки и для сечения на границе участков На левой опоре (при и на правой опоре (при прогибы равны нулю; в конце участка прогиб и угол поворота сечения равны соответственно прогибу и углу поворота сечения в начале участка II (при (см. рис. 74.7):

Подставляем соответствующие значения в уравнения прогибов и углов поворота:

Из равенств (в) и (г)

Постоянные а таюке и равны друг другу в результате применения приема Клебша при интегрировании дифференциального уравнения упругой линии.

С учетом этого из равенства (б) находим

Подставим найденные значения постоянных в уравнения прогибов и углов поворота сечений балки:

Рассмотрим случай, когда сила Р приложена посредине пролета. Упругая линия в этом случае симметрична относительно середины пролета. Подставим в уравнения для и значения

Наибольший прогиб посредине пролета (при )

Угол поворота на левой опоре (при )

На основании выполненных примеров можно установить следующий порядок определения перемещений (при изгибе балок) методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии.

1. Для каждого участка балки составляются выражения изгибающих моментов.

2. Выражения изгибающих моментов для каждого участка балки подставляются в основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (68.7).

3. Определяются общие выражения углов поворота и прогибов сечений для каждого участка балки путем двухкратного интегрирования основного дифференциального уравнения.

4. Определяются постоянные интегрирования из условий на опорах балки и на границах ее участков.

Полученные значения постоянных подставляются в общие выражения углов поворота и прогибов сечений балки.

6. В зависимости от условий задачи вычисляются значения углов поворота и прогибов тех или иных сечений балки. В большинстве случаев определяется наибольший (по абсолютной величине) прогиб или близкий к нему по величине прогиб посредине пролета. В тех случаях, когда требуется построить упругую линию, определяются прогибы ряда сечений.

Метод непосредственного интегрирования

Метод основан на непосредственном интегрировании полученного приближенного дифференциального уравнения. Последовательно интегрируем дифференциальное уравнение (163). Вначале запишем его так

Учитываем, что первая производная от прогиба является функцией угла поворота поперечных сечений

Подставляем выражение (165) в уравнение (164) и получим

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (167)

Выразим угол поворота через прогибы

Проинтегрируем левую и правую части уравнения и получим решение

Постоянные интегрирования и определяются из граничных условий на концах каждого участка балки. Число постоянных интегрирования равно удвоенному числу участков на балке. В этом недостаток рассматриваемого метода. Достоинством метода является возможность определения углов поворота и прогибов балки переменной жесткости и при любой по сложности нагрузке.

Пример:

Определение прогиба и угла поворота сечения балки методом непосредственного интегрирования. Рассмотрим защемленную балку постоянной жесткости (рис.63).

Рис.63. Консоль, загруженная сосредоточенным моментом, приложенным к ее концу

Изгибающий момент выражается функцией

Определим постоянные интегрирования. Для этого используем условие на концах балки:

1) при z = 0,

2) при z = 0, V=0.

В результате получим аналитические выражения (функции) для углов поворота и прогибов балки.

Дополнительные страницы которые вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Наиболее естественным методом определения функции прогибов является метод непосредственного интегрирования уравнения изгибающих моментов.

$EI\,y"(x) = M(x)$ – полученное дифференциальное уравнение;

$EI\,y'(x) = EI\,\varphi (x) = \int dx + C$ – первый интеграл (уравнение углов поворота);

$EI\,y(x) = \int dx = \iint dxdx + C\,x + D$ – второй интеграл (уравнение прогибов).

Кроме интегрирования уравнения изгибающих моментов $M(x)$, для получения уравнения прогибов необходимо определить две постоянных интегрирования $C$ и $D$ из условий закрепления балки. При этом надо учесть, что шарнирная опора исключает прогибы балки, а жесткое зажатие – прогибы и углы поворота (то есть они равны нулю).

Физический смысл постоянных интегрирования такой: при $x = 0$ угол поворота $EI\,\varphi (0) = C$, а прогиб $EI\,y(0) = D$, то есть константа $C$ равна углу поворота в начале координат, константа $D$ равна прогибу балки при x=0.

Консольная балка с силой на конце

На левой опоре возникают реакции – вертикальная сила $F$ и момент $M = F \cdot l$.

Уравнения изгибающих моментов

$M(x) = - Fl + Fx = F(x - l)$

Уравнение углов поворота

$EI\,y'(x) = EI\,\varphi (x) = \int dx + C = F(\frac>> - lx) + C$

Так как в сечении $A$ (в защемлении) отсутствует прогиб и угол поворота, получим следующую систему уравнений

$\left\ < \beginEI\,\varphi (0) = F(\frac>> - l \cdot 0) + C = 0 \hfill \\ EI\,y(0) = F(\frac>> - l\frac>>) + C \cdot 0 + D = 0. \hfill \\ \end \right.$

Решение этой системы уравнений приводит к результату $C = 0$, $D = 0$.

Окончательно функция прогибов для рассматриваемой балки имеет вид

Максимальный прогиб будет иметь место при $x = l$

Максимальный угол поворота сечения также будет иметь место при $x = l$

Шарнирно закрепленная балка с силой посередине

На опорах возникают вертикальные реакции $ = = F/2$.

Поскольку уравнение изгибающих моментов разное на двух разных участках, функция прогибов также будет разная. Используя полную симметрию расчетной схемы, далее будем рассматривать только левый участок, для которого уравнение изгибающих моментов имеет вид

$M(x) = \fracx$, то есть $EI\,y"(x) = \fracx$, интегрируем дважды

Константы интегрирования $C$ и $D$ полученного уравнения справедливы только для первого участка, поэтому их необходимо определять из условий, связанных с перемещениями на первом участке. Такими условиями является равенство нулю прогибов на опоре $A$ ($x = 0$) и, исходя из симметрии, равенство нулю угла поворота под силой $F$ ($x = l/2$). Имеем систему уравнений

Окончательно функция прогибов для рассматриваемой балки имеет вид

Максимальный прогиб будет иметь место при $x = l/2$

Максимальные углы поворота сечений будут на опорах ($x = 0$ и $x = l$).

Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой

На левой опоре возникают реакции – вертикальная сила $ql$ и момент $M = \frac>>$.

$M(x) = - \frac>> + ql \cdot x - \frac>>$, дважды интегрируем

Так как в сечении $A$ (в защемлении) отсутствует прогиб и угол поворота, получим следующую систему уравнений

$\left\ < \beginEI\,y'(0) = F(\frac>> - l \cdot 0) + C = 0 \hfill \\ EI\,y(0) = F(\frac>> - l\frac>>) + C \cdot 0 + D = 0. \hfill \\ \end \right.$

Решение системы уравнений приводит к результату $C = 0$, $D = 0$.

Окончательно функция прогибов для рассматриваемой балки имеет вид

Максимальный прогиб будет иметь место при $x = l$

Максимальный угол поворота сечения также будет иметь место при $x = l$

Партнерская программа

Помощь: сопромат, строймеханика, прикладная механика ОТ АВТОРА САЙТА ВКонтакте Telegram: sopromat_xyz WhatsApp + Instagram

Метод начальных параметров (сокр. — МНП) позволяет определять прогибы и углы наклона сечений в прямых балках с постоянной жесткостью поперечного сечения EI_x.

МНП является одним из относительно простых способов расчета угловых и линейных перемещений при изгибе в балках с любым количеством силовых участков.

Пример расчета перемещений сечений балки смотрите в нашем видеоуроке:

Для применения метода начальных параметров есть ограничения: рассчитываемая балка должна быть выполнена из однородного материала, иметь прямую ось и постоянные форму и размеры поперечного сечения.

Универсальные уравнения МНП

Для балок с типичным набором нагрузок универсальные уравнения метода начальных параметров имеют вид:

где
θ_z, y_z – соответственно угловое и линейное перемещения рассматриваемого сечения балки;
θ₀, y₀ – угол наклона и прогиб сечения балки в выбранном начале координат (НК). Это и есть начальные параметры (являются постоянными интегрирования) по которым назван сам метод. Определяются из соответствующих опорных условий;
m, F и q – все сосредоточенные моменты (пары сил), силы (включая опорные реакции) и распределенные нагрузки (в т.ч. компенсирующие) приложенные к рассматриваемой балке;
z – расстояние от выбранного начала координат до рассматриваемого сечения балки (положение сечения);
a и b – расстояния от начала координат до соответствующих моментов и сосредоточенных сил;
c – расстояние от НК до начала действия распределенной нагрузки;
E – модуль продольной упругости материала балки;
I_x — момент инерции сечения относительно оси x.

Данные уравнения МНП являются лишь шаблонами, по которым записываются уравнения для конкретных расчетных схем (пример рассмотрен ниже).

Примечания к методу

Перед записью уравнений метода начальных параметров выбирается начало координат балки.

Начало координат выбирается в крайнем левом или правом конце балки (лучше в том, который расположен на опоре).

Слагаемые в уравнениях записываются последовательно по силовым участкам от начала координат.

Знаки отдельных слагаемых в универсальных уравнениях МНП принимаются по правилу знаков для изгибающего момента, т.е. слагаемые с нагрузками, которые на рассматриваемом участке стремятся сжать верхние слои балки, записываются положительными.

Если распределенная нагрузка q действует в пределах части длины балки (обрывается, не доходя до конца), то ее действие продлевается в сторону, противоположную от начала координат, до конца балки и добавляется компенсирующая нагрузка той же интенсивности но обратного направления.

Начальные параметры универсальных уравнений МНП определяются из условий закрепления балки в опорах.
На шарнирных опорах вертикальные линейные перемещения (прогибы) равны нулю, т.е. y_A=0 и y_B=0.

В жесткой заделке отсутствуют (равны нулю) и угловые и линейные перемещения (θ_A=0, y_A=0).

Положительное значение рассчитанного прогиба y_z соответствует перемещениям сечения вверх по отношению к продольной оси балки.

Знак угла поворота θ_z зависит от выбора начала координат: при выборе НК в крайнем левом сечении балки угол θ_z будет считаться положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки

Соответственно, если начало координат выбрано справа – положительным считается угол при повороте по часовой стрелке.

Пример составления уравнений МНП

Порядок составления уравнений МНП и расчета перемещений рассмотрим на примере двухопорной балки

Выбор начала координат

Начало координат в данной расчетной схеме выбираем в самой правой точке D балки, так как она расположена на опоре, и, следовательно, прогиб в этой точке будет отсутствовать.
Ось z направляем соответственно влево.

Теперь для данной балки правый торец будем считать ее началом, левый – соответственно концом.

Действия с распределенной нагрузкой

Как видно по схеме, действие распределенной нагрузки обрывается в точке B, не доходя до конца балки.

Составление уравнений МНП

Универсальные уравнения МНП для заданной балки записываются последовательно по участкам со стороны начала координат.

При этом желательно отделять части уравнения для каждого из участков.

Запишем уравнение угловых перемещений θ_z метода начальных параметров.
Участок CD
Мысленно закрепив балку между сечениями C и D,

в стороне начала балки видим только опорную реакцию R_D которая по правилу знаков записывается положительной, так как сжимает верхние слои балки.

Участок BC
На этом участке, как и на всех остальных, закрепив балку в произвольном месте, смотрим в сторону НК.

Видим момент m и распределенную нагрузку q.

Момент положителен т.к. сжимает верхние слои балки, нагрузка q отрицательна т.к. сжимает ее нижние слои.

Уравнение метода начальных параметров для прогибов составляется аналогично.

Определение начальных параметров

В правой части полученных уравнений известны все параметры кроме начальных θ₀ и y₀ (переменная z задается при решении).

Прогиб и угол наклона сечения в начале координат определим из опорных условий.

Балка закреплена на двух шарнирных опорах (точки B и D), в которых прогибы всегда равны нулю.

Граничные условия метода начальных параметров:

Так как точка D была принята за начало координат, то прогиб в этой точке и есть y₀, т.е. правильно выбрав НК, мы сразу определили один из двух начальных параметров.

Угловое перемещение в начале координат θ₀ рассчитаем из оставшегося (первого) опорного условия.

Для этого запишем уравнение прогибов для точки B, которое равно нулю

От НК до сечения B два участка, поэтому берется не все уравнение, а только его части, включающие нагрузки на соответствующих участках (CD и BC).
Из него выражаем и находим значение θ₀.

Теперь можно рассчитывать перемещения любого сечения балки.

Расчет перемещений

Для определения перемещений сечения расположенного на i-м участке от начала координат в расчете участвуют только части уравнений от НК до i-го участка включительно.

Выбирая нужное уравнение и задавая положение z сечений от начала координат определяются их угловые и линейные перемещения.

Например, для расчета угла наклона и прогиба сечения K расположенного на расстоянии z_K от НК

уравнения метода начальных параметров будут иметь вид:

Остается только подставить значения и провести расчеты.

Читайте также: