Урожайность и урожай являются прямо пропорциональными величинами при постоянной площади

Обновлено: 05.10.2024

1) - периметр квадрата, - его сторона.

= 4.

Если = 1 см, то = 41 = 4 (см).

Если = 2 см, то = 42 = 8 (см).

Если = 4 см, то = 44 = 16 (см).

Получаем, что каждый раз, увеличивая сторону квадрата в 2 раза, его периметр также будет увеличиваться в 2 раза. Аналогично, если сторону квадрата будем уменьшать в какое-то число раз, то и периметр квадрата будет уменьшаться в это же число раз. Следовательно, величины и прямо пропорциональны. Можно сказать еще и так: "величина прямо пропорциональна величине " или "зависимость между величинами и является прямой пропорциональностью".

2) При движении с постоянной скоростью, пройденный путь и время движения прямо пропорциональны, т.к. пройденный путь равен произведению скорости и времени движения.

Пусть скорость движения пешехода 8 км/ч.

Если = 1 ч, то = 81 = 8 (км).

Если = 3 ч, то = 83 = 24 (км).

Если = 9 ч, то = 89 = 72 (км).

Получаем, что каждый раз, увеличивая время в пути в 3 раза, путь также будет увеличиваться в 3 раза, а это и говорит о том, что зависимость между величинами и является прямой пропорциональностью, при условии движения с постоянной скоростью.

Свойство прямо пропорциональных величин:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же, постоянному для данных величин, числу.

В рассмотренных выше примерах для величин и это число равно 4, т.к. : = 4 : 1 = 8 : 2 = 16 : 4 = 4, а для величин и это число равно 8, т.к. : = 8 : 1 = 24 : 3 = 72 : 9 = 8.

Обратная пропорциональная зависимость

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Примеры:

1) Если расстояние является постоянной величиной, то скорость и время движения обратно пропорциональны, т.к. время движения равно частному от деления расстояния на скорость движения.

Пусть расстояние равно 80 км.

Если = 10 км/ч, то = 80 : 10 = 8 (ч).

Если = 20 км/ч, то = 80 : 20 = 4 (ч).

Если = 40 км/ч, то = 80 : 40 = 2 (ч).

Получаем, что каждый раз, увеличивая скорость движения в 2 раза, время движения будет уменьшаться в 2 раза, а это и говорит о том, что зависимость между величинами и является обратной пропорциональностью, при том условии, что расстояние нужно проехать одинаковое.

2) и - стороны прямоугольника, а его площадь 36 см 2 .

Если = 3 см, то = 36 : 3 = 12 (см).

Если = 6 см, то = 36 : 6 = 6 (см).

Получаем, что величины и обратно пропорциональны, т.к. увеличивая (уменьшая) одну сторону прямоугольника в 2 раза, чтобы его площадь не изменилась, вторую сторону нужно уменьшить (увеличить) в 2 раза.

Свойство обратно пропорциональных величин:

Если две величины обратно пропорциональны, то произведение соответствующих значений этих величин равно одному и тому же для данных величин числу.

В рассмотренных выше примерах для величин и это число равно 80, т.к. = 108 = 204 = 402 = 80, а для величин и это число равно 12, т.к. = 312 = 66 = 36.

Не всякие величины являются прямо пропорциональными или обратно пропорциональными. Например, размер обуви человека увеличивается при увеличении его возраста, но эти величины не являются пропорциональными, т.к. при удвоении возраста размер обуви человека не удваивается.

Пусть нам дана задача:

Украшение состоит из белого и желтого золота массой 192 г. При этом масса белого золота относится к массе желтого золота как 5 : 7. Надо найти массу белого и желтого золота, из которых сделано украшение.

Мы можем считать, что все украшение состоит из 5 + 7 = 12 частей одинаковой массы. По условию масса украшения равна 192 г, а значит, масса одной части украшения равна 192 : 12 = 16 г.

Белое золото соответствует 5 частям, то есть имеет массу 5 16 = 80 г, а желтое золото соответствует 7 частям, то есть имеет массу 7 16 = 112 г.

Итак мы получили, что украшение состоит из 80 г белого золота и 112 г желтого золота.

То есть мы число 192 (масса украшения) представить в виде суммы двух слагаемых - 80 и 112, отношение которых равно 5 : 7.

В этом случае говорят, что число 192 разделили в отношении 5 : 7, или по-другому, число 192 представили в виде суммы двух слагаемых, пропорциональных числам 5 и 7.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Бесплатные сертификаты учителям и участникам

Описание презентации по отдельным слайдам:

Тема: Зависимости между величинами: урожайностью, площадью и массой урожая.

Цель: познакомить с задачами на урожайность; закрепить знания о таких понятиях как площадь и единицы её измерения; развивать логическое мышление, память; воспитывать познавательный интерес.

Устный счет 1. Запись чисел: 5 ед. II кл., 725 ед I кл. 48 ед. II кл., 700 ед I кл. 603 ед. II кл., 906 ед I кл. 347215, 24801, 112013, 9300

Устный счёт 1. Запись чисел: 5 ед. II класса 48 ед. II класса 603 ед. II класса 347215, 24801 725 ед. I класса 700 ед. I класса 906 ед. I класса 112013, 9300

Работа в группах Разделить все единицы измерений на 3 группы: Единицы длины Единицы массы Единицы площади Километр, квадратный метр, сантиметр, метр, килограмм, квадратный дециметр, грамм, тонна, центнер, ар, миллиметр, квадратный километр, год, квадратный сантиметр, гектар. -Дописать, каких не хватает.

Работа в группах Единицы длины Единицы массы Единицы площади

Производительность = Объём работы : Время работы Объём работы = Производительность* Время работы Время работы = Объём работы : Производительность Производительность = Объём работы : Время работы Объём работы = Производительность* Время работы Время работы = Объём работы : Производительность

Решить задачу I-группа: Составить задачу по таблице и решить II- группа: Составить одну обратную задачу III- группа: Составить две обратные задачи ПроизводительностьВремя работыОбъём работы 6 пар/час3ч?

-В каких единицах измеряется посевная площадь? -В каких единицах измеряется собранный урожай? а)Научись решать задачи: С каждого гектара поля площадью 3 га собрали 270 ц картофеля. Какова масса урожая? Решение: 270 * 3 = ____ (ц) Ответ: масса урожая 90 центнеров б) Составь и реши обратные задачи. УрожайностьПлощадьМасса урожая 270 ц/ га3 га?

Вывод: Урожайность = Масса урожая : Площадь Масса урожая = Урожайность * Площадь Площадь = Масса урожая : Урожайность

Работа по учебнику: I - группа: Стр. 54 № 3 II - группа Стр. 54 № 4 III – группа Решите задачу: У фермера два участка земли засеяны пшеницей. Площадь первого – 18 га, а второго – 30 га. С первого получили урожай по 32 центнера с гектара. а со второго – по 28 центнеров. Сколько центнеров пшеницы получили с двух участков?

подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
по всем предметам 1-11 классов

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 952 человека из 80 регионов

Курс повышения квалификации

Дислексия, дисграфия, дискалькулия у младших школьников: нейропсихологическая диагностика и коррекция

Курс добавлен 24.12.2021
Сейчас обучается 181 человек из 48 регионов

Курс повышения квалификации

Актуальные вопросы теории и методики преподавания в начальной школе в соответствии с ФГОС НОО

Сейчас обучается 352 человека из 70 регионов

ЗП до 91 000 руб.
Гибкий график
Удаленная работа

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 561 814 материалов в базе

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

29.02.2016 2656
PPTX 1.2 мбайт
36 скачиваний
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Мельник Наталья Васильевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

40%

Подготовка к ЕГЭ/ОГЭ и ВПР
Для учеников 1-11 классов

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Время чтения: 3 минуты

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили ввести пост уполномоченного по правам учителей

Время чтения: 2 минуты

Петербургская учительница уволилась после чтения на уроке Введенского и Хармса

Время чтения: 3 минуты

В Рособрнадзоре рассказали, как будет меняться ЕГЭ

Время чтения: 2 минуты

Полный перевод школ на дистанционное обучение не планируется

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

· Две величины называют прямо пропорциональными, если при увеличении одной из них в 3 раза, другая уменьшается в 3 раза.

· Зависимость между временем и расстоянием при постоянной скорости является прямой пропорциональностью.

· Зависимость между периметром квадрата и длиной его стороны является обратной пропорциональностью.

· Зависимость между грузоподъемностью машин и их количеством является обратной пропорциональностью.

· Две величины называют обратно пропорциональными, если при уменьшении одной из них в 2 раза, другая увеличивается в 4 раза.

· Возраст человека и размер его обуви обратно пропорциональны.

· Скорость и расстояние при постоянном времени движения обратно пропорциональны.

· Число дней работы трактора и площадь, которую он вспашет, прямо пропорциональны.

· Покупают одинаковые тетради. Количество тетрадей и стоимость покупки прямо пропорциональны.

Чем старше дерево, тем оно выше. Чем медленнее темп, тем дольше идти до школы. Эти и другие процессы можно описать математическим языком в виде прямой и обратной пропорциональной зависимости. Как это делать — расскажем в этой статье.

О чем эта статья:

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.
Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одного числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.
Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

a и d называются крайними членами, b и c — средними.

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;
периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;
стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Вспомним формулу для определения пути через скорость и время: S = V * t.
Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений: 70 * 2 = V * 7
Найдем скорость второго автомобиля: V = 70 * 2/7 = 20

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней?

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

Если разделить 420 на 14, узнаем, что объем увеличивается в 30 раз.

Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз. Таким образом:

х = 1 (блогер) * 30 (раз) : 12/8 (дней).
х = 1 * 30 : 12/8
х = 20

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;
при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;
количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.
Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию: 30 : 24 = 5 : х
Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член: х = 24 * 5 : 30; х = 4
Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

На этом уроке мы рассмотрим, что такое прямая и обратная пропорциональные зависимости, научимся оформлять и решать задачи с помощью пропорции, устанавливая пропорциональную зависимость между величинами в ней, рассмотрим примеры задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

Прямая и обратная пропорциональность

Давайте сначала разберемся, что такое пропорциональность.

Пропорциональность - это зависимость двух величин друг от друга таким образом, что значение отношения этих величин остается постоянным.

Зависимость величин друг от друга может быть прямой и обратной.

Отношение между величинами описываются прямой или обратной пропорциональностью.

Прямая пропорциональность выражается так: \(\mathbf\)

Обратная пропорциональность выражается так: \(\mathbf>\)

где k - это число, которое называют коэффициентом пропорциональности.

x и y величины, зависящие друг от друга.

Пример

Площадь прямоугольника равна \(\mathbf\), где S- это площадь прямоугольника, а - длина прямоугольника, b - ширина прямоугольника.

Если один из множителей произведения - постоянная величина, то произведение прямо пропорционально второму множителю.

Если постоянно значение произведения, то множители зависят друг от друга обратно пропорционально.

По формуле видно, что площадь квадрата зависит от длины (ширины) его стороны, а длина стороны (ширина) зависит от его площади.

Какова эта зависимость, сейчас и рассмотрим.

Зависимость площади прямоугольника от длины при постоянном значении ширины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

Зависимость площади прямоугольника от ширины при постоянном значении длины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

Пусть одна клетка равна 1 см. Рассмотрим рисунок:

Ширина прямоугольника b постоянная величина

b = 4 см

a₁ = 6 см

Увеличим ширину прямоугольника - сторону a₁ на 1 см, получим

a₂ = 7 см

Найдем площади прямоугольников S₁ и S₂

\(\mathbf = a_ \cdot b = 6 \cdot 4 = 24>\) см 2

\(\mathbf = a_ \cdot b = 7 \cdot 4 = 28>\) см 2

Вывод: при увеличении стороны прямоугольника увеличилась площадь прямоугольника.

Рассмотрим другой вариант зависимости

Зависимость одной из сторон прямоугольника от второй стороны при постоянном значении площади прямоугольника является обратно пропорциональной зависимостью. Пусть одна клетка равна 1 см

Площадь прямоугольника S постоянная величина

S = 24 см 2

b₁ = 4 см

Увеличим высоту прямоугольника- сторону прямоугольника b₁ на 2 см_, получим

b₂ = 6 см

Найдем ширину прямоугольника- сторону a₂

Вывод: при увеличении одной стороны прямоугольника и постоянном значении площади, вторая сторона уменьшается.

Таким образом, мы подошли к основным понятиям пропорциональной зависимости. Чтобы было легко разобраться в несложных схемах ниже, мы дадим пояснение символам:

1) Две величины прямо пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, так же увеличивается (уменьшается) в n количество раз.

2) Две величины обратно пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, уменьшается (увеличивается) в n количество раз.

Примеров прямой и обратной пропорциональности множество.

Однако не все величины зависят друг от друга прямо пропорционально или обратно пропорционально, встречаются и более простые и более сложные зависимости величин.

Надо понимать, что даже если какие-нибудь две величины возрастают или убывают, то между ними не обязательно существует пропорциональная зависимость.

Например, с течением времени увеличивается возраст человека и его размер ноги, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста размер ноги человека не удваивается

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Алгоритм решение задач с прямой и обратной пропорциональной зависимостью

Алгоритм решения задач на пропорциональную зависимость состоит из нескольких основных пунктов:

Обозначить буквой значение неизвестной величины (чаще всего для этого выбирают латинскую букву Х)
Проанализировать задачу и кратко записать ее условия (краткую запись можно делать в виде таблицы или изображать в виде логической схемы)
Установить зависимость между величинами
В краткой записи задачи обозначить стрелками пропорциональную зависимость

- Стрелки, которые направлены в одну сторону, обозначают прямую пропорциональную зависимость величин

- Стрелки, которые направлены в разные стороны, обозначают обратную пропорциональную зависимость величин.

5. Записать пропорцию, учитывая характер пропорциональности величин

6. Составить уравнение

7. Найти неизвестный член уравнения (искомую величину)

8. Записать ответ задачи

Важно помнить, что при составлении краткой записи задачи величины с одинаковыми единицами измерения записывают друг под другом.

Если между величинами прямая пропорциональная зависимость, то пропорция составляется точно в соответствии с краткой записью задачи.

Если между величинами обратная пропорциональная зависимость, то при составлении пропорции одноименные величины меняются местами в одном любом из столбцов таблицы (логической схемы) краткой записи задачи.

Другими словами, при прямо пропорциональной зависимости отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Читайте также: