Всхожесть тюльпанов составляет 20 найти ряд распределения

Обновлено: 18.09.2024

Биномиальным называется закон распределения дискретной СВ , если она может принимать целые неотрицательные значения 0,1. n с вероятностями
.

Математическое ожидание и дисперсия СВ , распределенные по биномиальному закону, вычисляются по формулам M ()= np ; D ()= npq .

Пример 24. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,8. Составить закон распределения всхожести для 5 посеянных семян и найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. Случайная величина  - число взошедших из 5 посеянных семян - может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4 и 5. По формуле (11) найдем соответствующие им вероятности:

Запишем закон распределения.

Математическое ожидание M ()= np =50,8=4;
дисперсия .

7.2. Закон распределения Пуассона

Дискретная СВ  распределена по закону Пуассона (с параметром >0), если она может принимать целые неотрицательные значения 0,1,2, . с вероятностями
.

Распределение Пуассона может быть использовано как приближенное в тех случаях, когда точным распределением случайной величины является биномиальное распределение и когда математическое ожидание мало отличается от дисперсии, т.е. когда np  npq .

Пример 25. Вероятность того, что станок с программным управлением изготовит бракованное изделие, составляет 0,004. Требуется определить с достоверностью 0,95, в каких пределах будет лежать число бракованных изделий в партии из 1000 штук.

Решение. n =1000; p =0,004; P =0,95. Поскольку = np =4, можно воспользоваться распределением Пуассона, согласно которому
.
Вычислим последовательно эти вероятности:

Суммируя вычисленные вероятности, начиная со второй, получим P (1 m 4)=0,61192. Эта вероятность значительно меньше, чем требуемая достоверность 0,95. Поэтому продолжим процесс вычисления:

Суммируя их, получим: P (1 m 8)=0,96173>0,95, тогда как P (1 m 7)=0,93197 7.3. Равномерное распределение

Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, все значения которой лежат на некотором отрезке [ a , b ] и имеют постоянную плотность вероятности на этом отрезке. Таким образом, ее плотность вероятности

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое равномерно распределенной СВ определяются формулами
. (17)
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервал (,), представляющий собой часть промежутка [ a , b ], вычисляется по формуле
. (18)

Пример 26. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.

Решение. Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину, которая распределена равномерно в интервале между соседними делениями. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения, равна 0,2, поэтому

а). Очевидно, что ошибка отсчета не превысит 0,04, если она будет заключена в интервалах (0; 0,04) или (0,16; 0,2). Тогда искомую вероятность получим по формуле (18)
p=P(0 7.4. Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Показательным ( экспоненциальным ) называют распределение вероятностей непрерывной СВ , плотность которой имеет вид
(19)
где  - постоянная положительная величина.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны
. (20)

Функция распределения показательного закона
(21)

Вероятность попадания в интервал ( a , b ) непрерывной СВ , распределенной по показательному закону:
. (22)

Замечательным свойством показательного закона распределения является то, что при наступлении события x случайная величина =- x имеет такой же закон распределения, как и величина . Это свойство объясняет, почему показательный закон распределения имеют такие случайные величины, как время работы различных технических и радиотехнических систем, механизмов, время распада радиоактивного атома, время обслуживания технической системы, длительность телефонного разговора и т.д.

Пример 27. Время Т безотказной работы двигателя автомобиля распределено по показательному закону. Известно, что среднее время наработки двигателя на отказ между техническим обслуживанием - 100 ч. Определить вероятность безотказной работы двигателя за 80 ч.

Решение. По условию задачи математическое ожидание случайной величины Т равно 100 часов. Следовательно, 1/=100. Отсюда =10 -2 =0,01. Тогда плотность распределения времени безотказной работы двигателя будет иметь вид

определяет вероятность отказа двигателя за время длительностью t . Тогда вероятность безотказной работы двигателя за это время будет равна . Функцию R ( t ) называют функцией надежности. Для случая нашей задачи эта вероятность будет равна .

7.5. Нормальный закон распределения

Распределение непрерывной случайной величины  называется нормальным , если ее плотность вероятности имеет вид
, (23)
где a = M () - математическое ожидание; - среднее квадратическое отклонение СВ . Вероятность попадания нормально распределенной СВ  в заданный интервал (,) вычисляется по формуле , (24)
где - функция Лапласа. Вероятность того, что модуль отклонения случайной величины  от своего математического ожидания меньше любого положительного числа :
. (25)
Вероятность отклонения относительной частоты = m / n от постоянной вероятности p появления некоторого события в n независимых испытаниях выражается формулой
, (26)
где q =1- p .

Пример 28. Пусть случайной величиной  является предел текучести данной марки стали, замеренный на некотором количестве проб. Из опыта известно, что величина  распределена нормально с математическим ожиданием a =310МН/м 2 и средним квадратическим отклонением =32 МН/м 2 . Найти вероятность того, что значение текучести заключено между 290 и 320 МН/м 2 .

Решение. Для решения этой задачи воспользуемся формулой (24). Вычислим значения и . В данной задаче =320 МН/м 2 ; =290 МН/м 2 ; a=310 МН/м 2 ; =32 МН/м 2 . Тогда ; . Используя формулу (24), получим: P (290 Пример 29. Диаметр втулок, изготовленных на заводе, можно считать нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием a =2510 -3 м и среднеквадратическим отклонением =10 -4 м. В каких границах будет находиться величина диаметра втулки с вероятностью 0,98?

Решение. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины  от своего математического ожидания a меньше любого >0, равна
.
Из этого равенства получим . По таблице значений функции ( x ) находим: . Отсюда =2,3310 -4 м. Тогда искомый интервал, в котором будет находиться диаметр втулки с вероятностью 0,98, можно записать: (24,76710 -3 ; 25,23310 -3 ).

Пример 30. Среди продукции, изготовленной на данном станке, брак составляет 2%. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью 0,995 можно было ожидать, что относительная частота бракованных изделий среди них отличается от 0,02 по модулю не более чем на 0,005?

Решение. Мы знаем, что если n - число независимых испытаний и p - вероятность появления события в отдельном испытании, то при любом >0 имеет место равенство (см. формулу (26))
.
В нашем случае p =0,02; q =1-0,02=0.98; P =0,995; =0,005. Для определения n запишем указанное равенство с учетом данных задачи

или .Из таблицы значений функции ( x ) находим: . Отсюда получаем: n =6190 изделий.

8. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ
О НОРМАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

Важнейшим среди законов непрерывных распределений является нормальный закон, плотность и функция распределения которого имеют вид
;
где - функция Лапласа.

Нормальный закон является предельным законом распределения и для ряда других законов распределения. Поэтому основные методы математической статистики разработаны применительно к нормальному закону.

Пусть F ( x ) - функция распределения изучаемой СВ . Обозначим через H 0 гипотезу о нормальном распределении СВ .
,
где a и  - конкретные значения параметров нормального закона. Эту гипотезу называют нулевой гипотезой. Для ее проверки производят серию из n независимых испытаний. В результате получают выборочную совокупность x 1 , x 2 , . x n , по которой делают вывод о правильности гипотезы H 0 . Так как СВ  может принимать бесконечное множество значений, выборочная совокупность содержит неполную информацию о законе распределения СВ .

По этой причине при оценке гипотезы H 0 может быть допущена ошибка. Вероятность ошибочного отклонения правильной нулевой гипотезы называют уровнем значимости. Обычно при проверке гипотезы уровень значимости  берут равным 0,001; 0,01; 0,05. Если уровень значимости взят 0,05, это значит, что примерно в 5% случаев может быть ошибочно отвергнута верная нулевая гипотеза.

Одним из методов статистической проверки гипотезы о законе распределения является критерий согласия  2 ( xu -квадрат). Опишем алгоритм проверки с помощью этого критерия гипотезы о нормальном распределении: F ( x )= F 0 ( x ).

В серии независимых испытаний получаем n значений СВ . Интервал , содержащий всю выборочную совокупность, разбиваем точками x 1  , x 2  , . x k -1  на k частичных интервалов. Статистический закон распределения СВ  записываем в форме таблицы, называемой интервальным статистическим рядом. В верхней строке таблицы выписываются частичные интервалы, в нижней - частоты m i - число значений СВ , попавших в соответствующий интервал.

Для каждого частичного интервала рассчитываем относительные частоты (частости) и строим гистограмму и полигон частостей. Исходя из вида гистограммы и полигона, а также механизма образования СВ , формулируем гипотезу о виде закона распределения. Если полигон по форме напоминает колокол и значения СВ  формируются под действием большого числа случайных факторов, приблизительно равнозначных по своему влиянию на рассеивание значений СВ , то есть основания (см. центральную предельную теорему) предположить нормальный закон распределения.

Допуская нормальное распределение СВ , находим точечные оценки его параметров
,
где - середины частичных интервалов.

Записываем предполагаемый вид функции распределения
.
Вычисляем теоретические частоты np i попадания значений СВ  в i -й частичный интервал, где . При этом полагаем ; . Получаем значение случайной величины, называемое  2 - статистикой Пирсона:
,
приближенно имеющей  2 - распределение с = k -3 степенями свободы. Чем точнее F 0 ( x ) воспроизводит закон распределения СВ , тем ближе теоретические частоты np i к эмпирическим m i и, следовательно, тем меньше

Из таблицы 2 - распределения по выбранному уровню значимости  и числу =k-3 выбираем значение , удовлетворяющее условию .

Сравниваем вычисленное значение  2 с табличным. Если  2  - в единственном испытании (результат испытания - вычисленное значение  2 ) произошло событие пренебрежимо малой вероятности. Поэтому следует усомниться в исходном предположении , давшем маловероятное событие в единственном испытании. Нулевая гипотеза отклоняется с вероятностью ошибки . Если  2 F 0 ( x ) согласуется с опытными значениями СВ .

Замечание. Число интервалов k и точки деления выбирают так, чтобы все теоретические частоты (кроме, может быть, крайних) удовлетворяли требованию np i 10. Это необходимо для того, чтобы обеспечить близость закона распределения  2 - статистики Пирсона к  2 - распределению. Если указанные неравенства не выполняются, следует либо выбрать новые точки деления, либо объединить некоторые соседние интервалы. При этом не следует брать очень крупные интервалы, чтобы вероятности p i достаточно точно отражали вид предполагаемой функции распределения.

Пример 33. Даны 100 значений температуры масла двигателя
БелАЗ при средних скоростях:

52 48 52 51 52 48 52 51 48 46 52 47

50 52 49 53 51 53 48 47 47 48 47 49

53 50 53 49 51 52 49 49 53 49 54 50

49 50 51 50 52 50 50 52 51 52 53 52

51 49 52 51 50 51 50 49 50 51 50 49

51 54 52 49
Требуется:
1) составить интервальные статистические ряды частот и частостей наблюденных значений непрерывной СВ ;
2) построить полигон и гистограмму частостей СВ ;
3) по виду гистограммы и полигона и исходя из механизмов образования исследуемой СВ  сделать предварительный выбор закона распределения;
4) предполагая, что исследуемая СВ  распределена по нормальному закону, найти точечные оценки параметров нормального распределения, записать гипотетичную функцию распределения СВ ;
5) найти теоретические частоты нормального распределения, проверить согласие гипотетической функции распределения с нормальным законом с помощью критерия согласия  2 (уровень значимости принять равным =0,05);
6) найти интервальные оценки параметров нормального распределения (доверительную вероятность принять равной =1–=0,95).

Решение. Температура масла в двигателе является непрерывной случайной величиной. Обозначим ее .

1). Для построения интервального статистического ряда выбираем наибольшее x max и наименьшее x min из имеющихся значений СВ : x max =56, x min =46.

Диапазон имеющихся значений разобьем на 6 частичных интервалов равной длины h (обычно число интервалов k выбирают в пределах от 5 до 15). Разбиение произведем так, чтобы x min было серединой первого частичного интервала, x max - серединой последнего
( k -го интервала). Очевидно, длина отрезка [ x min , x max ] будет равной ( k -1) h . Отсюда находим
.
Начальную точку берем равной x min – h /2=46–1=45. Получаем частичные интервалы [45, 47), [47, 49), [49, 51), . [55, 57). Подсчитываем для каждого интервала частоты m i и вычисляем частости , где n =100 - число выборочных значений СВ . Строим интервальный статистический ряд частот и частостей СВ .

Числовые характеристики случайной величины, распределенной по биноминальному закону

Дисперсия случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону.
D[X]=npq

Пример №1 . Изделие может оказаться дефектным с вероятностью р = 0.3 каждое. Из партии выбирают три изделия. Х – число дефектных деталей среди отобранных. Найти (все ответы вводить в виде десятичных дробей): а) ряд распределения Х ; б) функцию распределения F(x) .
Решение. Случайная величина X имеет область значений .
Найдем ряд распределения X.
P3(0) = (1-p) n = (1-0.3) 3 = 0.34
P3(1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0.3) 3-1 = 0.44

P_<3></p> <p>(2) = /0.3^(1-0.3)^ = 0.19

  1. Вероятность появления события в одном испытании равна 0.6 . Производится 5 испытаний. Составить закон распределения случайной величины Х – числа появлений события.
  2. Составить закон распределения случайной величины Х числа попаданий при четырех выстрелах, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.8 .
  3. Монету подбрасывают 7 раз. Найти математическое ожидание и дисперсию числа появлений герба. Примечание: здесь вероятность появление герба равна p = 1/2 (т.к. у монеты две стороны).

Пример №2 . Вероятность появления события в отдельном испытании равна 0.6 . Применяя теорему Бернулли, определите число независимых испытаний, начиная с которого вероятность отклонения частоты события от его вероятности по абсолютной величине меньше 0.1 , больше 0.97 . (Ответ: 801)

Пример №4 . Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна (m+n)/(m+n+2) . Производится n+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.

Примечание. Вероятность того, что он промахнется не более двух раз включает в себя следующие события: ни разу не промахнется P(4), промахнется один раз P(3), промахнется два раза P(2).

Пример №5 . Определите распределение вероятностей числа отказавших самолётов, если влетает 4 машины. Вероятность безотказной работы самолета Р=0.99 . Число отказавших в каждом вылете самолётов распределено по биноминальному закону.

Задача 4. Среди 11 изделий 7 изделия первого сорта. Наудачу выбрали четыре изделия. случайная величина X – число первосортных изделий среди выбранных четырех изделий.
1. Составить закон распределения случайной величины X .
2. Построить полигон относительных частот.
3. Найти функцию распределения F(x) случайной величины X , построить ее график.
4. Найти характеристики случайной величины X :
а) математическое ожидание M(X) ;
б) дисперсию D(X) , среднее квадратическое отклонение σ( Х );
в) моду M0.
Случайная величина X имеет область значений (0,1,2. n). Вероятности этих значений можно найти по формуле:
Pn(m) = C m np m q n-m
где C m n - число сочетаний из n по m.

Найдем ряд распределения X.
P4(0) = (1-p) n = (1-0.636) 4 = 0.0176
P4(1) = np(1-p) n-1 = 4(1-0.636) 4-1 = 0.12

P4(4) = p n = 0.636 4 = 0.16
xi 0 1 2 3 4
pi 0,0176 0,12 0,32 0,37 0,16
Полигон относительных частот

Мода равна тому значению X, при котором вероятность максимальная. В данном примере максимальная вероятность p =0,37 соответствует X = 3.

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.0176 + 1*0.12 + 2*0.32 + 3*0.37 + 4*0.16 = 2.54
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 ipi - M[x] 2 .

Дисперсия D[X].
D[X] = 0 2 *0.0176 + 1 2 *0.12 + 2 2 *0.32 + 3 2 *0.37 + 4 2 *0.16 - 2.54 2 = 0.92601646

Функция распределения F(X).
F(x≤0) = 0
F(0 4) = 1


Пример 1 . Вероятность того, что трамвай подойдет к остановке строго по расписанию, равна 0,7. X - число трамваев, прибывших по расписанию из 4 исследуемых. Составить закон распределения дискретной случайной величины X, вычислить M(X), D(X), σ(X), построить многоугольник распределения и график функции распределения F(X).
Решение. Случайная величина X имеет область значений (0,1,2. n). Вероятности этих значений можно найти по формуле:
Pn(m) = C m np m q n-m
где C m n - число сочетаний из n по m.

Найдем ряд распределения X.
P4(0) = (1-p) n = (1-0.7) 4 = 0.0081
P4(1) = np(1-p) n-1 = 4(1-0.7) 4-1 = 0.0756




P4(4) = p n = 0.7 4 = 0.2401
x 0 1 2 3 4
p 0.0081 0.0756 0.2646 0.4116 0.2401
Математическое ожидание находим по формуле m = ∑xipi.
Математическое ожидание M[X].
M[x] = 0*0.0081 + 1*0.0756 + 2*0.2646 + 3*0.4116 + 4*0.2401 = 2.8
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 ipi - M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 0 2 *0.0081 + 1 2 *0.0756 + 2 2 *0.2646 + 3 2 *0.4116 + 4 2 *0.2401 - 2.8 2 = 0.84
Среднее квадратическое отклонение σ(x).

Пример 2 . Вероятность того, что телевизор проработает гарантийный срок без поломки, равна 0.8. Закупили 4 телевизора. Какова вероятность того, что три телевизора не проработают гарантийный срок?
Решение. В поле вероятность вводим значение p = 1- 0 .8 = 0.2 , поскольку нас интересует вероятность поломки.


Пусть при выполнении П повторных независимых испытаний требуется найти вероятность появления события А точно Т раз, если появление события А в каждом отдельном испытании имеет вероятность, равную Р (появление противоположного события А Имеет вероятность ).

Обращаясь сначала к частному случаю, например при П=3, Т=2, мы можем установить, что двукратное появление события А Связано с однократным появлением события А (противоположного) и что такой исход испытания может иметь место в одном из следующих расположений:

Или или или

Вероятности каждого из этих сложных событий равны между собой и определяются по теореме умножения вероятностей:



Ответ на вопрос о вероятности появления события А два раза (и события один раз) при трех повторных испытаниях требует применения теоремы сложения вероятностей. Это дает 1):



Пример 1. В принятой партии хлопка числО длинных волокон составляет их общего числа. Какова вероятность того, что в пучке хлопка из 3 волокон окажутся 2 длинных волокна?

Решение. Здесь имеем



Чтобы обобщить выражение коэффициента 3, найденного при условии П=3 и Т=2, рассмотрим случай N=4 и Т=2.


Здесь двукратное появление события A сопровождается двукратным появлением и события , а это возможно в следующих комбинациях:

, или , или , или , Или , или .

Число этих комбинаций при одинаковой вероятности появленИЯ каждой из них определяет


Из теории соединений (комбинаторики) мы знаем, что 3 есть число сочетаний из трех элементов по два и что 6 есть число сочетаний из четырех элементов по два.

Применением метода математической индукции можно установить, что появление события A два раза при N испытаниях имеет комбинаций (это — число сочетаний из П элементов по два), а появление Т раз события А при П испытаниях имеет комбинаций (число сочетаний из П элементов по M).

Заметив далее, что появление каждой отдельной комбинации, в которой событие А участвует два раза, например



Имеет вероятность , мы устанавливаем, применяя теорему сложения, что


Аналогично появление отдельной комбинации, в которой событие А Участвует Т раз, например



Имеет вероятность , а поэтому по теореме сложения получаем



Применяя для числа известную формулу


Мы получим выражение вероятности появления события А при П Независимых испытаниях ровно Т раз в виде


Это — Формула Бернулли.

Пример 2. Вероятность попадания в цель составляет при отдельном выстреле Р = 0,8. Найти вероятность пяти попаданий при 6 выстрелах.

Решение. Здесь П = 6, Т = 5, Р = 0,8, Q = 0,2. Поэтому искомая вероятность


Переходим теперь к дальнейшему обобщению результата, выражающего вероятность появления некоторого события заданное число раз. при выполнении П испытаний, независимых по отношению к этому событию.


Правая часть формулы Бернулли представляет собой общий член разложения бинома Ньютона. Поэтому, если мы будем придавать числу Т появлений события А значения , то получим соответствующие выражения вероятностей:


— Вероятность появления события А во всех испытаниях;


— Вероятность появления события А во всех испытаниях, Кроме одного;


— вероятность появления события А В п - 2 испытаниях;


— Вероятность появления события А в трех испытаниях;


— Вероятность появления события А в двух испытаниях;


— Вероятность появления события А в одном испытании;


— вероятность непоявления события А ни в одном испытании (появления события А во всех П испытаниях).

При П независимых испытаниях только и возможно, т. Е. достоВЕрно, появление события А либо П, либо П-1, либо N-2, . Либо 3, либо 2, либо 1 раз, либо ни разу, а это означает, что


И, таким образом, известная формула разложения бинома Ньютона


Дает распределение вероятностей появления события А между всеми единственно возможными и несовместимыми результатами проведения П независимых испытаний. При этом, заметив, что , мы устанавливаем, что и левая часть формулы дает

Биномиальное распределение вероятностей позволяет определить не только вероятность появления интересующего нас события заданное число раз при N независимых испытаниях, но и вероятность того, что число Т случаев появления этого события заключено в заданНЫх границах между числами и , либо оказывается больше (меньше) или не меньше (не больше) данного числа .

Покажем это на ряде примеров.

Пример 3. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность, что из 5 посеянных семян взойдет не меньше 4?

Решение. Имеем П= 5, и , т. е. Т принимает значения или 4, или 5. Искомая вероятность


1).

Пример 4. По данным ОТК На сотню металлических брусков, заготовленных для обработки, Приходится 30 с зазубринами. Какова вероятность, что из случайно Взятых 7 брусков окажется без дефектов Не более двух?

Решение. Пусть Событием А Здесь будет отсутствие на бруске зазубрин. Тогда и . Число испытаний , а т. Е. прИнимает значение или 2, или 1, или 0.


Пример 5. При установившемся технологическом режиме зафиксировано 120 обрывов на 1000 веретен в час. Определить вероятность того, что число обрывов в час на 25 веретенах будет больше двух, но меньше восьми.

Решение. Здесь для получим и . Принимая и , будем иметь


Искомая вероятность запишется в виде

И определится по теореме сложения:


В связи с последним примером следует заметить, что использование биномиального закона зачастую связано с вычислительными трудностями. Поэтому с возрастанием значений П и Т становится целесообразным применение приближенных формул, что будет рассмотрено в последующих параграфах.

Для небольших значений П и Т биномиальное распределение дает возможность сравнительно легко установить доли отдельных членов разложения, выявить, какое число появлений события А Наиболее вероятно, и определить, как меняются вероятности с изменением числа появлений данного события.


Пример 6. Пусть производится 8 независимых испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании Найти вероятности возможных исходов.

Пример 13. Вероятность попадания в цель у стрелка р = 0,8. Производится три выстрела. Построить ряд распределения случайной величины X - числа попаданий в цель. Найти математическое ожидание М [X] и дисперсию D [X].



Пример 14. Производится испытание n=3 приборов на надежность. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна р=0.7 . Случайная величина X - число приборов, не выдержавших испытание. Построить ряд распределения случайной величины X. Найти математическое ожидание М[Х] и дисперсию D [X].


Контрольная работа ЗАДАНИЕ №1 Варианты 1-6. Из партии, состоящей из N изделий, среди которых имеются М бракованных, выбраны случайным образом к изделий для проверки их качества. Построить ряд распределения случайного числа X бракованных изделий, содержащихся в выборке, график функции распределения. Найти математическое ожидание и дисперсию величины X . Варианты 7 - 12. Телефон - автомат обеспечивает нужное соединение с вероятностью р. Вы пытаетесь дозвониться по определенному номеру, имея к началу опыта N двадцати пяти копеечных монет. Случайная величина X - число истраченных монет. Построить ряд распределения, график функции распределения, найти математическое ожидание и дисперсию. Варианты 13 - 19. Вероятность попадания стрелком в цель при одном выстреле равна р. Случайная величина X - число удач стрелка, сделавшего М выстрелов. Построить ряд распределения, график функции распределения величины X. Найти математическое ожидание и дисперсию величины X. Варианты 20-25. С подводной лодки выпускают торпеды последовательно по одной до первого попадания в цель или полного израсходования всего боекомплекта, состоящего из М торпед. Все выстрелы независимы, а вероятность попадания в цель каждой торпеды равна р. Случайная величина X - число израсходованных торпед. Построить ряд и график функции распределения случайной величины X. Найти математическое ожидание и дисперсию величины X . Варианты 26 - 30. Проводятся испытания N изделий на надежность, причем вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна р. Случайная величина X - число изделий, выдержавших испытания. Построить ряд распределения, график функции распределения, найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .

Читайте также: