На поле площадью 10 га можно выращивать картофель или свеклу в любой пропорции

Обновлено: 18.09.2024

Есть счастливые кладоискатели, знаете, те, которые в полях ищут серебряные монетки далёких времён и, что удивительно, находят их.

А есть совсем не охотники за призрачным счастьем, просто натыкающиеся на то, чего быть не должно. И это приносит им, с одной стороны, удивление, а с другой - радость.

И я "наткнулась" на задачу в материалах для подготовки к ЕГЭ, которой, по моему мнению, там быть не должно.

Если Вы спросите у школьников, слышали ли они что-нибудь о задаче линейного программирования, думаю, ответ будет отрицательным. А вопрос "Умеешь ли ты решать задачи по теме матричные игры?" просто собьёт их с ног. Что говорить о детях, если понятие "седловая точка матрицы" делает лица коллег каменными? И зачем давать задачи по темам, которых нет в программе по математике, а потом пытаться решать эти задачи способами, на мой взгляд, притянутыми?

Задач по теме "Линейное программирование" я нашла несколько в источнике: ЕГЭ-2016: Математика: 30 вариантов экзаменационных работ для подготовки к единому государственному экзамену : профильный уровень / под ред. И.В. Ященко. - Москва: АСТ: Астрель, 2016. - 135, [1] с. - (Государственная итоговая аттестация).

Задачи записаны под номером 17, оцениваются тремя первичными баллами.

Рассмотрим первую, самую "простую" (картинка 2).

"У фермера есть два поля, площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции, Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором - 300 ц/га.

Фермер может продавать картофель по цене 4000 руб. за центнер, свёклу - по цене 5000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?"

Почему я отношу эту и другие задачи, о которых речь пойдёт ниже, к заявленной в названии статьи теме?

По следующим причинам.

Линейное программирование - это один из разделов предмета "Математическое программирование", нацеленного на решение задач по некоторой программе действий. В линейном программировании решается задача отыскания экстремума линейной функции нескольких переменных, удовлетворяющих системе ограничений в виде линейных же уравнений и неравенств.

Исследуемая задача с линейной целевой функцией, зависящей от двух переменных, которые удовлетворяют линейным неравенствам, как раз относится к этой теме.

Какими знаниями, не получаемыми в курсе "школьной" математики, должен владеть ученик, чтобы решить эту задачу?

1) Он должен иметь представление о функции двух переменных и о понятиях, с ней связанных: об области допустимых значений переменных, о линии уровня, о частных производных, о градиенте, о направлении роста значений функции.

2) Он должен иметь представление о выпуклых многогранниках и их "угловых" точках, должен уметь решать неравенства с двумя переменными, изображать решения этих неравенств на чертеже (учтите, что линейки на экзамене запрещены почему-то, все пользуются обложкой паспорта для прочерчивания линий).

3) Он должен знать последовательность шагов отыскания оптимального решения задачи линейного программирования.

За всем этим стоит большой объём информации.

Авторов задачи для школьников немного "спасает" то, что переменных в задаче 2, поэтому её можно решить графическим методом.

Я покажу 2 способа решения такой задачи: 1) графический с построением градиента к линии уровня функции; 2) опирающийся на основную теорему теории линейного программирования (именно его я рекомендую применить на экзамене, если, не дай Бог, такая задача попадётся).

Задача. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 200 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором – 300 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу – по цене 7000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение. Пусть на х га первого поля выращивают картофель. Тогда свёклой занято (10-х) га. С первого поля соберут 300х ц картофеля и 200(10-х) ц свёклы. Пусть на у га второго поля выращивают картофель. Тогда под свёклой (10-у)га. Со второго поля соберут 200у ц картофеля и 300(10-у) ц свёклы.

С двух полей картофеля соберут 300х + 200у центнеров и после продажи выручат 5000(300х + 200у) или 500000(3х + 2у) рублей.

С двух полей свёклы соберут 200(10-х) + 300(10-у) центнеров и после продажи выручат 7000(200(10-х) + 300(10-у)) или 700000(2(10-х) + 3(10-у)) или

Общая сумма денег за картофель и свёклу составит

S = 500000(3х + 2у) + 700000(50-2х-3у) = 100000(15x + 10y + 350 — 14x — 21y);

S = 100000(x + 350 — 7y) рублей.

Для того, чтобы фермер получил наибольший доход значение переменной у должно быть равно нулю. Это означает, что всё второе поле занято только свёклой. А значение х должно быть наибольшим, значит х = 10. Это означает, что всё первое поле нужно отвести под картофель. Наибольший возможный доход составит S = 100000 ∙ (10 + 350) = 100000 ∙ 360 = 36000000 рублей.

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет , а на втором – . Урожайность свеклы на первом поле составляет , а на втором – .

Фермер может продавать картофель по цене руб. за центнер, а свеклу – по цене руб . за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

На первом поле пусть ( га ) занимает картофель. Доход от него определяем:

Доход от свеклы на первом поле

На втором поле на картофель выделяем ( га ). Тогда доход от него:

Доход от свеклы на втором поле:

Окончательно руб.

Задачу можно решить из соображений здравого смысла.

Так как урожайность на первом поле выше у картофеля, то все первое поле засевается им. А на втором поле выше урожайность у свеклы. Тогда:

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на ), затем Василий переводит в банк 3 696 300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Если – сумма кредита, то через год останется

А через два года:

Ответ: 6330000 руб .

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется рабочих, каждый из которых готов трудиться часов в день. При этом один рабочий за час добывает кг алюминия или кг никеля. Во второй шахте имеется рабочих, каждый из которых готов трудиться часов в день. При этом один рабочий за час добывает кг алюминия или кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на кг алюминия приходится кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Пусть рабочих добывают в первой шахте алюминий. Его масса

Тогда никеля ( кг ).

Во второй шахте алюминия добывается в день рабочими: ( кг ).

Никеля добывается: ( кг ).

По условию на кг алюминия приходится кг никеля.

Масса сплава равна:

Выражение максимально, если

15-го января планируется взять кредит в банке на 18 месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

Предположим, что – сумма кредита, – разница в долге на 15-е число месяца.

Представим выплаты в виде таблицы:

На 1-е число месяца

На 15-е число месяца

Чтобы найти сумму денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования , необходимо сложить разность строк, начиная со второй.

В двух областях есть по рабочих, каждый из которых готов трудиться по часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает кг алюминия или кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на кг алюминия приходится кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Предположим, что человек в первой области добывают алюминий, тогда его масса равна ( кг ), а никеля ( кг )

Во второй области:

Общая масса алюминия ( кг ), никеля ( кг )

Массу обоих металлов выражаем по формуле:

По условию задачи в сплаве на кг алюминия приходится кг никеля:

Найдем критическое значение из условия .

Максимальное значение массы металлов

Тимофей хочет взять в кредит 1,1 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента годовых. На какое минимальное количество лет может Тимофей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 270 тысяч рублей?

Расчеты ведем по формуле для нахождения остатка

, где – сумма долга.

Распишем выплаты в виде таблице

Перед выплатой (млн руб.)

После выплаты (млн руб.)

Таким образом, на погашение долга потребуется 6 лет

31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на %), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Найдите .

Пусть – сумма, взятая в кредит

– выплачиваемый транш, если долг выплачивается 4 года

– выплачиваемый транш, если долг выплачивается 2 года

Выплата долга в течение 4 лет:

При выплате по второй схеме:

С учетом замены:

В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает кг алюминия или кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х 2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у 2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём кг алюминия можно заменить кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

В соответствии с условием задачи, наиболее выгодно в первой области добывать алюминий. Тогда общий объем часов

Соответственно, добытый алюминий в первой области

Рассмотрим вторую область. По условию:

Общая масса металла добытого во второй области

Находим критические значения из условия

Итак, алюминия добывают

кг , а никеля кг.

Во второй области наибольшая масса добытых металлов:

А в обеих областях:

Ответ: наибольшая масса добытых металлов кг.

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере в месяц, затем , потом и, наконец, в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

Предположим, что под в месяц вклад хранился месяцев, под – месяцев, под – месяцев, под – месяцев.

S – первоначальная сумма вклада.

Через месяцев будет сумма:

Далее через месяцев:

По условию задачи

Удвоим уравнение (4) и сложим с уравнением (1) и сложим уравнения (2) и (3).

Сложив эти два уравнения имеем:

Подставим все в уравнение (1):

Ответ:12 месяцев или 1 год

Папа Карло выстрогал Буратино и отправил его в школу, дав ему на букварь несколько деревянных рублей, не более 30 штук. Буратино продал все рубли коллекционерам по 150 сольдо за каждый. Пять сольдо он сунул себе за щеку, не более трех закопал на поле Чудес, а на оставшиеся купил хлеба по цене 51 сольдо за корочку. Сколько корочек хлеба купил Буратино?

Обозначим – количество рублей, – количество корочек хлеба, – количество закопанных сольдо.

Для выполняется условие ; учтем, что натуральные числа и . Составим уравнение по условию :

если , а – условию задачи удовлетворяет;

– нецелое и больше 30.

– нецелое и больше 30 .

Условию задачи удовлетворяет только . Тогда количество корочек .

Ответ: 44 корочки хлеба.

В Шестьляндии в обращении находятся денежные купюры номиналом 1 рубль, 6 рублей и 36 рублей. Банком, в котором содержится неограниченный запас купюр каждого вида, 14 купюрами выдана некоторая сумма, меньшая 200 рублей. Найти эту сумму, если известно, что меньшим числом купюр выдать ее невозможно.

– количество купюр достоинством 1 рубль,

– количество купюр достоинством 6 рублей,

– количество купюр достоинством 36 рублей.

Из условия задачи следует:

Из условия, что меньше чем 14 купюр быть не может, следует, что:

При , получаем , что не соответствует условию задачи.

Ответ: 174 рубля.

Задачи для самостоятельной работы

В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает кг алюминия или кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

15-го января планируется взять кредит в банке на сумму 2,4 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет ц/га , а на втором – ц/га . Урожайность свеклы на первом поле составляет ц/га , а на втором – ц/га .

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свеклу – по цене 13 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает кг алюминия или кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.

Техническая реконструкция предприятия была проведена в четыре этапа. Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением производства. Ежемесячное падение производства составило на первом этапе , на втором – , на третьем – и на четвертом – в месяц. По окончании реконструкции первоначальный объем производства на предприятии сократился на . Определите продолжительность периода реконструкции.

Купил Роман раков, вчера – мелких, по цене 510 рублей з штуку, а сегодня – по 990, но очень крупных. Всего на раков он истратил 25200 рублей, из них переплаты из-за отсутствия сдачи в сумме составили от 160 до 200 рублей. Сколько Роман купил раков вчера и сколько сегодня?

В Семиземье в обращении находятся монеты трех видов: бронзовые рубли, серебряные монеты достоинством 7 рублей и золотые монеты достоинством 49 рублей. Из казны, в которой содержится неограниченный запас монет каждого вида, 17 монетами выдана некоторая сумма, меньшая 300 рублей. Найти эту сумму, если известно, что меньшим числом монет выдать ее невозможно.

У фермера есть два поля, каждое площадью `10` гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет `200` ц/га, а на втором — `300` ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет `250` ц/га, а на втором — `200` ц/га. Фермер может продавать картофель по цене `1500` руб. за центнер, а свёклу — по цене `1800` руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер? Источник: ЕГЭ 2018. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. Под ред. Ященко И.В./М.:2018.-80 с.(вариант №2)

Решение:

Пусть на первом поле засеяно `x` га картофеля, значит, свеклы засеяно `(10-x)` га. А на втором поле пусть будет засеяно `y` га картофеля, значит, свеклы `(10-y)` га.

Найдем урожайность картофеля и свёклы на первом поле. Урожайность картофеля `200` ц/га, значит, будет собрано `200*x` центнеров картофеля. Урожайность свёклы составляет `250` ц/га, значит, будет собрано `250*(10-x)` центнеров свёклы.

Найдем урожайность картофеля и свёклы на втором поле. Урожайность картофеля `300` ц/га, значит, будет собрано `300*y` центнеров картофеля. Урожайность свёклы составляет `200` ц/га, значит, будет собрано `200*(10-y)` центнеров свёклы.

Читайте также: