Как выбрать участок чистого изгиба

Обновлено: 05.10.2024

Для наглядного представления характера деформации брусьев (стержней) при изгибе проводится следующий опыт. На боковые грани резинового бруса прямоугольного сечения наносится сетка линий, параллельных и перпендикулярных оси бруса (рис. 30.7, а). Затем к брусу по его концам прикладываются моменты (рис. 30.7, б), действующие в плоскости симметрии бруса, пересекающей каждое его поперечное сечение по одной из главных центральных осей инерции. Плоскость, проходящая через ось бруса и одну из главных центральных осей инерции каждого его поперечного сечения, будем называть главной плоскостью.

Под действием моментов брус испытывает прямой чистый изгиб. В результате деформации, как показывает опыт, линии сетки, параллельные оси бруса, искривляются, сохраняя между собой прежние расстояния. При указанном на рис. 30.7, б направлении моментов эти линии в верхний части бруса удлиняются, а в нижней — укорачиваются.

Каждую линию сетки, перпендикулярную к оси бруса, можно рассматривать как след плоскости некоторого поперечного сечения бруса. Так как эти линии остаются прямыми, то можно предполагать, что поперечные сечения бруса, плоские до деформации, остаются плоскими и в процессе деформации.

Это предположение, основанное на опыте, как известно, носит название гипотезы плоских сечений, или гипотезы Бернулли (см. § 6.1).

Гипотеза плоских сечений применяется не только при чистом, но и при поперечном изгибе. Для поперечного изгиба она является приближенной, а для чистого изгиба строгой, что подтверждается теоретическими исследованиями, проведенными методами теории упругости.

Рассмотрим теперь прямой брус с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси, заделанный правым концом и нагруженный на левом конце внешним моментом действующим в одной из главных плоскостей бруса (рис. 31.7). В каждом поперечном сечении этого бруса возникают только изгибающие моменты действующие в той же плоскости, что и момент

Таким образом, брус на всем своем протяжении находится в состоянии прямого чистого изгиба. В состоянии чистого изгиба могут находиться отдельные участки балки и в случае действия на нее поперечных нагрузок; например, чистый изгиб испытывает участок 11 балки, изображенной на рис. 32.7; в сечениях этого участка поперечная сила

Выделим из рассматриваемого бруса (см. рис. 31.7) двумя поперечными сечениями элемент длиной . В результате деформации, как это следует из гипотезы Бернулли, сечения останутся плоскими, но наклонятся по отношению друг к другу на некоторый угол Примем левое сечение условно за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол оно займет положение (рис. 33.7).

Прямые пересекутся в некоторой точке А, которая является центром кривизны (или, точнее, следом оси кривизны) продольных волокон элемента Верхние волокна рассматриваемого элемента при показанном на рис. 31.7 направлении момента удлиняются, а нижние укорачиваются. Волокна же некоторого промежуточного слоя перпендикулярного к плоскости действия момента сохраняют свою длину. Этот слой называется нейтральным слоем.

Обозначим радиус кривизны нейтрального слоя, т. е. расстояние от этого слоя до центра кривизны А (см. рис. 33.7). Рассмотрим некоторый слой расположенный на расстоянии у от нейтрального слоя. Абсолютное удлинение волокон этого слоя равно а относительное

Рассматривая подобные треугольники устанавливаем, что Следовательно,

В теории изгиба предполагается, что продольные волокна бруса не давят друг на друга. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что это предположение не влияет существенно на результаты расчета.

При чистом изгибе в поперечных сечениях бруса не возникают касательные напряжения. Таким образом, все волокна при чистом изгибе находятся в условиях одноосного растяжения или сжатия.

По закону Гука для случая одноосного растяжения или сжатия нормальное напряжение о и соответствующая относительная деформация связаны зависимостью

или на основании формулы (11.7)

Из формулы (12.7) следует, что нормальные напряжения в продольных волокнах бруса прямо пропорциональны их расстояниям у от нейтрального слоя. Следовательно, в поперечном сечении бруса в каждой его точке нормальные напряжения пропорциональны расстоянию у от этой точки до нейтральной оси, представляющей собой линию пересечения нейтрального слоя с поперечным сечением (рис.

34.7, а). Из симметрии бруса и нагрузки следует, что нейтральная ось горизонтальна.

В точках нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю; по одну сторону от нейтральной оси они растягивающие, а по другую — сжимающие.

Эпюра напряжений о представляет собой график, ограниченный прямой линией, с наибольшими по абсолютной величине значениями напряжений для точек, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 34.7,б).

Рассмотрим теперь условия равновесия выделенного элемента бруса. Действие левой части бруса на сечение элемента (см. рис. 31.7) представим в виде изгибающего момента остальные внутренние усилия в этом сечении при чистом изгибе равны нулю. Действие правой части бруса на сечение элемента представим в виде элементарных сил о приложенных к каждой элементарной площадке поперечного сечения (рис. 35.7) и параллельных оси бруса.

Составим шесть условий равновесия элемента

Здесь - суммы проекций всех сил, действующих на элемент соответственно на оси — суммы моментов всех сил относительно осей (рис. 35.7).

Ось совпадает с нейтральной осью сечения а ось у перпендикулярна к ней; обе эти оси расположены в плоскости поперечного сечения

Элементарная сила не дает проекций на оси у и и не вызывает момента относительно оси Поэтому уравнения равновесия удовлетворяются при любых значениях о.

Уравнение равновесия имеет вид

Подставим в уравнение (13.7) значение а по формуле (12.7):

Так как (рассматривается изогнутый элемент бруса, для которого ), то

Интеграл представляет собой статический момент поперечного сечения бруса относительно нейтральной оси . Равенство его нулю означает, что нейтральная ось (т. е. ось ) проходит через центр тяжести поперечного сечения. Таким образом, центр тяжести всех поперечных сечений бруса, а следовательно, и ось бруса, являющаяся геометрическим местом центров тяжести, расположены в нейтральном слое. Следовательно, радиус кривизны нейтрального слоя является радиусом кривизны изогнутой оси бруса.

Составим теперь уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил, приложенных к элементу бруса, относительно нейтральной оси :

Здесь представляет собой момент элементарной внутренней силы относительно оси .

Обозначим площадь части поперечного сечения бруса, расположенной над нейтральной осью, — под нейтральной осью.

Тогда представит собой равнодействующую элементарных сил приложенных выше нейтральной оси, ниже нейтральной оси (рис. 36.7).

Обе эти равнодействующие равны друг другу по абсолютной величине, так как их алгебраическая сумма на основании условия (13.7) равна нулю. Эти равнодействующие образуют внутреннюю пару сил, действующую в поперечном сечении бруса. Момент этой пары сил, равный т. е. произведению величины одной из них на расстояние между ними (рис. 36.7), представляет собой изгибающий момент в поперечном сечении бруса.

Подставим в уравнение (15.7) значение а по формуле (12.7):

Здесь представляет собой осевой момент инерции , т. е. оси, проходящей через центр тяжести сечения. Следовательно,

Подставим значение из формулы (16.7) в формулу (12.7):

Составим теперь уравнение равновесия в виде суммы моментов всех сил, приложенных к элементу бруса, относительно оси у:

Здесь представляет собой момент элементарной внутренней силы относительно оси у (см. рис. 35.7).

Подставим в выражение (18.7) значение а по формуле (12.7):

Здесь интеграл представляет собой центробежный момент инерции поперечного сечения бруса относительно осей у и . Следовательно,

Как известно (см. § 7.5), центробежный момент инерции сечения равен нулю относительно главных осей инерции.

В рассматриваемом случае ось у является осью симметрии поперечного сечения бруса и, следовательно, оси у и являются главными центральными осями инерции этого сечения. Поэтому условие (19.7) здесь удовлетворяется.

В случае, когда поперечное сечение изгибаемого бруса не имеет ни одной оси симметрии, условие (19.7) удовлетворяется, если плоскость действия изгибающего момента проходит через одну из главных центральных осей инерции сечения или параллельна этой оси.

Если плоскость действия изгибающего момента не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения бруса и не параллельна ей, то условие (19.7) не удовлетворяется и, следовательно, нет прямого изгиба — брус испытывает косой изгиб.

Формула (17.7), определяющая нормальное напряжение в произвольной точке рассматриваемого сечения бруса, применима при условии, что плоскость действия изгибающего момента проходит через одну из главных осей инерции этого сечения или ей параллельна. При этом нейтральная ось поперечного сечения является его главной центральной осью инерции, перпендикулярной к плоскости действия изгибающего момента.

Формула (16.7) показывает, что при прямом чистом изгибе кривизна изогнутой оси бруса прямо пропорциональна произведению модуля упругости Е на момент инерции Произведение будем называть жесткостью сечения при изгибе; она выражается в и т. д.

При чистом изгибе балки постоянного сечения изгибающие моменты и жесткости сечений постоянны по ее длине. В этом случае радиус кривизны изогнутой оси балки имеет постоянное значение [см. выражение (16.7)], т. е. балка изгибается по дуге окружности.

Из формулы (17.7) следует, что наибольшие (положительные — растягивающие) и наименьшие (отрицательные—сжимающие) нормальные напряжения в поперечном сечении бруса возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, расположенных по обе стороны от нее. При поперечном сечении, симметричном относительно нейтральной оси, абсолютные величины наибольших растягивающих и сжимающих напряжений одинаковы и их можно определить по формуле

где — расстояние от нейтральной оси до наиболее удаленной точки сечения.

Величина зависящая только от размеров и формы поперечного сечения, называется осевым моментом сопротивления сечения и обозначается

Определим осевые моменты сопротивления для прямоугольного и круглого сечений.

Для прямоугольного сечения шириной b и высотой

Для круглого сечения диаметром d

Момент сопротивления выражается в .

Для сечений, не симметричных относительно нейтральной оси, например для треугольника, тавра и т. п., расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутых и сжатых волокон различны; поэтому для таких сечений имеются два момента сопротивления:

где — расстояния от нейтральной оси до наиболее удаленных растянутых и сжатых волокон.

Основные положения, характеризующие деформацию чистого изгиба

Исследование напряженного состояния балок мы начнем с простейшего случая, так называемого чистого изгиба.

Чистый изгиб есть частный случай изгиба, при котором в сечениях балки поперечная сила равна нулю. Чистый изгиб может иметь место только в том случае, когда собственный вес балки настолько мал, что его влиянием можно пренебречь. Для балок на двух опорах примеры нагрузок, вызывающих чистый

изгиб, представлены на рис. 88. На участках этих балок, где Q = 0 и, следовательно, М= const; имеет место чистый изгиб.

Усилия в любом сечении балки при чистом изгибе сводятся к паре сил, плоскость действия которой проходит через ось бал­ки, а момент постоянен.

Напряжения могут быть определены на основании следую­щих соображений.

1. Касательные составляющие усилий по элементарным пло­щадкам в поперечном сечении балки не могут быть приведены к паре сил, плоскость действия которой перпендикулярна к пло­скости сечения. Отсюда следует, что изгибающее усилие в сече­нии является результатом действия по элементарным площадкам

лишь нормальных усилий, а потому при чистом изгибе и напряжения сводятся только к нормальным.

2. Чтобы усилия по элементарным площадкам свелись только к паре сил, среди них должны быть как положительные, так и отрицательные. Поэтому должны существовать как растянутые, так и сжатые волокна балки.

3. Ввиду того, что усилия в различных сечениях одинаковы, то и напряжения в соответственных точках сечений одинаковы.

Рассмотрим какой-либо элемент вблизи поверхности (рис. 89, а). Так как по нижней его грани, совпадающей с по­верхностью балки, силы не приложены, то на ней нет и напря­жений. Поэтому и на верхней грани элемента нет напряжений, так как иначе элемент не находился бы и равновесии, Рассмат­ривая соседний с ним по высоте элемент (рис. 89,б), придем к

­такому же заключению и т. д. Отсюда следует, что по горизон­тальным граням любого элемента напряжения отсутствуют. Рас­сматривая элементы, входящие в состав горизонтального слоя, начиная с элемента у поверхности балки (рис. 90), придем к за­ключению, что и по боковым вертикальным граням любого эле­мента напряжения отсутствуют. Таким образом, напряженное состояние любого элемента (рис. 91,а), а в пределе и волокна, должно быть представлено так, как это показано на рис. 91,б, т. е. оно может быть либо осевым растяжением, либо осевым сжатием.

4. В силу симметрии приложения внешних сил сечение по середине длины балки после деформации должно остаться пло­ским и нормальным к оси балки (рис. 92, а). По этой же причине и сечения в четвертях длины балки тоже остаются плоскими и нормальными к оси балки (рис. 92,б), если только крайние се­чения балки при деформации остаются плоскими и нормальными к оси балки. Аналогичное заключение справедливо и для сечений в восьмых длины балки (рис. 92, в) и т. д. Следовательно, если при изгибе крайние сечения балки остаются плоскими, то и для любого сечения остается

справедли­вым утверждение, что оно после де­формации остается плоским и нор­мальным к оси изогнутой балки. Но в таком случае очевидно, что изменение удлинений волокон балки по ее высоте должно происходить не только непре­рывно, но и монотонно. Если назвать слоем совокупность волокон, имеющих одинаковые удлинения, то из сказан­ного следует, что растянутые и сжатые волокна балки должны располагаться по разные стороны от слоя, в котором удлинения волокон равны нулю. Бу­дем называть волокна, удлинения ко­торых равны нулю, нейтральными; слой, состоящий из нейтральных воло­кон, — нейтральным слоем; линию пе­ресечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки — нейтральной линией этого сечения. Тогда на основании предыдущих рассуждений можно утверждать, что при чистом изгибе балки в каждом ее сечении имеется нейтральная линия, которая делит это сечение на две части (зоны): зону растяну­тых волокон (растянутую зону) и зону сжатых волокон (сжа­тую зону). Соответственно с этим в точках растянутой зоны се­чения должны действовать нормальные растягивающие напря­жения, в точках сжатой зоны — сжимающие напряжения, а в точках нейтральной линии напряжения равны нулю.

Таким образом, при чистом изгибе балки постоянного се­чения:

1) в сечениях действуют только нормальные напряжения;

2) все сечение может быть разбито на две части (зоны) — растянутую и сжатую; границей зон является нейтральная линия сечения, в точках которой нормальные напряжения равны нулю;

3) любой продольный элемент балки (в пределе любое во­локно) подвергается осевому растяжению или сжатию, так что соседние волокна друг с другом не взаимодействуют;

4) если крайние сечения балки при деформации остаются плоскими и нормальными к оси, то и все ее поперечные сечения остаются плоскими и нормальными к оси изогнутой балки.

Напряженное состояние балки при чистом изгибе

Рас­смотрим элемент балки, подверженной чистому изгибу, заклю­ченный между сечениями m— m и n — n, которые отстоят одно от дру­гого на бесконечно малом расстоя­нии dx (рис. 93). Вследствие по­ложения (4) предыдущего пункта, сечения m— m и n — n, бывшие до деформации параллельными, после изгиба, оставаясь плоскими, будут составлять угол dQ и пересекаться по прямой, проходящей через точ­ку С, которая является центром кривизны нейтрального волокна NN. Тогда заключенная между ними часть АВ волокна, находящегося на расстоянии z от нейтрального во­локна (положительное направление оси z принимаем в сторону выпук­лости балки при изгибе), превра­тится после деформации в дугу А'В'.Отрезок нейтрального волокна О1О2, превратившись в дугу О1О2 не изменит своей длины, тогда как волокно АВ получит удлинение:

где р — радиус кривизны нейтрального волокна.

Поэтому абсолютное удлинение отрезка АВ равно

и относительное удлинение

Так как согласно положению (3) волокно АВ подвергается осевому растяжению, то при упругой деформации

Отсюда видно, что нормальные напряжения по высоте балки распределяются по линейному закону (рис. 94). Так как равно­действующая всех усилий по всем элементарным площадкам се­чения должна равняться нулю, то

откуда, подставляя значение из (5.8), найдем

Но последний интеграл есть статический момент относительно оси Оу, перпендикулярной к плоскости действия изгибающих уси­лий.

Вследствие равен­ства его нулю эта ось должна проходить через центр тяжести О сечения. Тамим образом,нейтраль­ная линия сечения балки есть прямая уу, перпен­дикулярная к плоскости действия изгибающих усилий. Ее называют ней­тральной осью сечения балки. Тогда из (5.8) следует, что напряжения в точках, лежа­щих на одинаковом расстоянии от нейтральной оси, одинаковы.

Случай чистого изгиба, при котором изгибающие усилия действуют только в одной плоскости, вызывая изгиб только в этой плоскости, является плоским чистым изгибом. Если названная плоскость проходит через ось Oz, то момент элементарных уси­лий относительно этой оси должен быть равен нулю, т. е.

Подставляя сюда значение σ из (5.8), находим

Стоящий в левой части этого равенства интеграл, как изве­стно, является центробежным моментом инерции сеченияотноси­тельно осей у и z, так что

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю, называют главными осями инерции этого сечения. Если они, кроме того, проходят через центр тяжести сечения, то их можно назвать главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, при плоском чистом изгибе направление плоскости действия изгибающих усилий и нейтраль­ная ось сечения являются главными центральными осями инер­ции последнего. Иными словами, для получения плоского чи­стого изгиба балки нагрузка к ней не может прикладываться произвольно: она должна сводиться к силам, действующим в плоскости, которая проходит через одну из главных центральных осей инерции сечений балки; при этом другая главная централь­ная ось инерции будет являться нейтральной осью сечения.

Как известно, в случае сечения, симметричного относительно какой-либо оси, ось симметрии является одной из главных цент­ральных осей инерции его. Следовательно, в этом частном случае мы заведомо получим чистый изгиб, приложив соответствующие анагрузки в плоскости, проходящей через продольную ось балки я ось симметрии ее сечения. Прямая, перпендикулярная к оси симметрии и проходящая через центр тяжести сечения, является при этом нейтральной осью этого сечения.

Установив положение нейтральной оси, нетрудно найти и ве­личину напряжения в любой точке сечения. В самом деле, так как сумма моментов элементарных усилий относительно нейт­ральной оси уу должна равняться изгибающему моменту, то

откуда, подставляя значение σ из (5.8), найдем

Так как интеграл является. моментом инерции сечения относительно оси уу, то

и из выражения (5.8) получим

Произведение ЕI_Уназывают жесткостью балки при изгибе.

Наибольшее растягивающее и наибольшее по абсолютной величине сжимающее напряжения действуют в точках сечения, для которых абсолютная величина z наибольшая, т. е. в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси. При обозначениях, рис. 95 имеем

Величину Jy/h1 называют моментом сопротивления сечения рас­тяжению и обозначают Wyр; аналогично, Jy/h2называют моментом сопротивления сечения сжатию

и обозначают Wyc,так что

Если нейтральная ось является, осью симметрии сечения, то h1 = h2 = h/2 и, следовательно, Wyp = Wyc, так что их различать нет надобности, и пользуются одним обозначением:

называя W_yпросто моментом сопротивления сечения.Следова­тельно, в случае сечения, симметричного относительно нейтраль­ной оси,

Все приведенные выше выводы получены на основании допу­щения, что поперечные сечения балки, при изгибе остаются пло­скими и нормальными к ее оси (гипотеза плоских сечений). Как было показано, это допущение справедливо только в том случае, когда крайние (концевые) сечения балки при изгибе остаются плоскими. С другой стороны, из гипотезы плоских сечений сле­дует, что элементарные усилия в таких сечениях должны распре­деляться по линейному закону. Поэтому для справедливости по­лученной теории плоского чистого изгиба необходимо, чтобы из­гибающие моменты на концах балки были приложены в виде элементарных сил, распределенных по высоте сечения по линей­ному закону (рис. 96), совпадающему с законом распределения напряжений по высоте сечения балки. Однако на основании принципа Сен-Венана можно утверждать, что изменение способа приложения изгибающих моментов на концах балки вызовет лишь местные деформации, влияние которых скажется лишь на некотором расстоянии от этих концов (приблизительно равном высоте сечения). Сечения же, находящиеся во всей остальной части длины балки, останутся плоскими. Следовательно, изложенная теория плоского чистого изгиба при любом способе приложения изгибающих моментов справедлива только в пределах средней части длины балки, находящейся от ее концов на расстояниях, при­близительно равных высоте сечения. Отсюда ясно, что эта тео­рия заведомо неприменима, если высота сечения превосходит половину длины или пролета балки.

Чистокровный. В предыдущей главе мы упоминали, что величина напряжения на любом поперечном сечении балки определяется боковой силой этой детали и величиной изгибающего момента. При приложении боковых сил напряжение определяется с самого начала. Равный нулю, есть только изгиб moment. In этот случай, он называется Чистым bend. An пример такого изгиба показан на рисунке. 81.

• Из условий Сима метрический. мы Реакция в этом случае; и я Р. Р. считать равным — \ p ^ p По новой части балки на левой стороне поперечного сечения mp%можно сделать вывод, что внутренние силы распределены вдоль поперечного сечения. 81.. ’： о. *%ля Поперечное сечение должно быть равно статическому изгибающему моменту Ra и равно паре сил в противоположном направлении, представляющих собой работу отбрасываемой правой части TP и левой beam.

To найдя законы распределения этих внутренних сил по поперечному сечению, необходимо учитывать деформацию beam. In в случае простой балки с симметричной продольной плоскостью с внешней изгибающей парой, действующей в этой плоскости, изгиб происходит в той же плоскости.

Если поперечное сечение балки прямоугольное, а на ее поверхности нанесены 2 смежные вертикальные линии ТТ и ПП, то видно, что эти линии остаются прямыми при изгибе и вращении, поэтому они остаются перпендикулярными продольным волокнам балки (рис.82)

Теория изгиба, описанная ниже, основана не только на предположении, что линии, проведенные по краям, такие как TT, остаются прямыми, но и на предположении, что все поперечное сечение балки (первоначально плоское) является плоским после изгиба и перпендикулярным продольным волокнам балки. Людмила Фирмаль

Опыт показывает, что теория, основанная на этом предположении, дает очень точные результаты для отклонения луча и продольной деформации волокна. Из приведенного выше предположения следует, что при изгибе поперечные сечения ТТ и ПП вращаются относительно друг друга вокруг оси, перпендикулярной плоскости изгиба, так что выпуклые продольные волокна подвергаются растяжению и сжатию в вогнутой стороне.

Линия PPG, есть следы пересечения сторон Да. К Да. Рисунок 82. Края поверхности, где волокна не изменяются. Эта поверхность Называется нейтральным слоем, а пересечение с любым поперечным сечением называется нейтральной осью. Удлинение B’b4 волокон на расстоянии y от нейтрального слоя получается, если линию l, b провести параллельно линии TT(рис. 82, а).Обозначим радиус кривизны изогнутой оси пучка через r и воспользуемся подобием треугольника nOphi b ^ b ’, чтобы найти относительное удлинение волокна BB’.

Из этого уравнения видно, что деформация продольных волокон пропорциональна расстоянию y от нейтрального слоя и обратно пропорциональна радиусу кривизны. Эксперимент показывает, что продольное растяжение волокон на выпуклой стороне пучка сопровождается боковым сжатием, а продольное сжатие на вогнутой стороне сопровождается боковым расширением той же величины, что и в случае простого растяжения или сжатия(см. п. 14). * ) Ось луча является локусом точки центра тяжести сечения b ^ lok. O означает центр кривизны оси балки.

В поперечном сечении, как показано на фиг. 82 b, вертикальные стороны прямоугольного поперечного сечения наклонены друг к другу. Относительная деформация в поперечном направлении (53） Где IX-коэффициент Пуассона. Это искажение приводит к тому, что все линии в поперечном сечении, параллельные оси z, изгибаются так, что они перпендикулярны стороне поперечного сечения.

Радиус кривизны/?Только в несколько раз больше, чем r из ex, который численно больше, чем e (см. уравнение 53）、 I = 1 г (54） Из продольной деформации волокна соответствующее напряжение определяется на основе закона крюка (уравнение 4). 0,= ^ * Г (55） Законы распределения этих напряжений показаны на рисунке. 83.

Напряжение волокна пропорционально расстоянию от нейтральной оси расположение нейтральной оси и радиус кривизны r (2 неизвестных в уравнении (55)) можно определить из условия, что сила, распределенная в поперечном сечении балки, создает пару сопротивлений, уравновешенную внешней парой M (рис.81). 。 Dp означает основную площадь поперечного сечения на расстоянии y от нейтральной оси (Рисунок 83).

Сила, действующая на эту базовую платформу Произведение напряжения на площадь yP (уравнение 55), то есть-yP Все такие силы, распределенные в поперечном сечении, представляют собой систему сил, соответствующих парам сил, так что результат действия этих сил равен нулю и становится:

То есть статический момент площади поперечного сечения относительно нейтральной оси равен zero. As в результате нейтральная ось проходит через центр тяжести секции. Момент усилия на базовом сайте (Относительно нейтральной оси 1р равно ууу. Все итоги Предполагая такой момент вдоль поперечного сечения и синтетический момент, равный моменту м внешней силы, получается следующая формула для определения радиуса кривизны R. Или 1 -^. (56）

Среди них Существует момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси r (приложение п. (см. 350).Из уравнения (56)видно, что кривизна прямо пропорциональна изгибающему моменту и обратно пропорциональна величине изгибающей жесткости балки. Исключение r из уравнений (55)и (56)дает следующее уравнение для определения напряжения: (57）

В этом уравнении, как показано на Рис. 5, момент M, вызывающий изгибную деформацию за счет выпуклой части, является положительным. 82; координата y положительна вниз. Было приведено предыдущее рассуждение. Для прямоугольных cross-section. It также эффективен для балок с другими формами поперечного сечения.

• В таких случаях изгиб происходит на рабочей поверхности пары, а поперечное сечение остается плоским и перпендикулярным продольным волокнам даже после изгиба.

Обратите внимание, что при вычислении /(рис. 84) ось кривой представляет собой дугу Окружность радиусов r и yB представляет собой прямоугольный треугольник вокруг ноги. Где o-центр окружности. Так… Вт — р * — (р-р?= Ч1-Т-、 /Очень мало по сравнению с радиусом r, и в этом уравнении мы используем значение/ * Двухместный 147.5 * 2р 8 * 108,700 Ф= −0,025 см.

3.Деревянная балка с квадратным поперечным сечением 25×25 см опирается на A и B (рис.84), и на обоих концах приложена сила P. Для AB = 180 см, s = 30 см, (stL) goax = 67 кг / см *и E = \ 0 * кг / см определите величину P и Центрального прогиба. Вес балки игнорируется. Построить график боковых сил и изгибающих моментов. Ответ. P = 5816 кг,/ = 0,217 см. 4.As как показано на рисунке, поддерживаются двутавровые балки высотой 75 см.

Он нагружается на консоль с равномерно распределенными нагрузками 85 и 13 300 кг / м. Для 1K = 357 400 см определите максимальное напряжение в центре балки и отклонение в центре балки. SH II11 。 6.0 м► 0-и измеряет следующее: Изменение температуры другого волокна пропорционально. Соответствующее относительное удлинение и укорочение температуры также пропорционально y. то есть оно следует тем же законам, что и деформация, определенная в Формуле(52).

Образовательный сайт для студентов и школьников

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Деформация изгиба характеризуется потерей прямолинейности или первоначальной формы линией балки (ее осью) при приложении внешней нагрузки. При этом, в отличие от деформации сдвига, линия балки изменяет свою форму плавно.
Легко убедиться, что на сопротивляемость изгибу влияет не только площадь поперечного сечения балки (бруса, стержня и т. д.), но и геометрическая форма этого сечения.

Поскольку изгиб тела (балки, бруса и т. п.) осуществляется относительно какой-либо оси, на сопротивляемость изгибу влияет величина осевого момента инерции сечения тела относительно этой оси.
Для сравнения - при деформации кручения сечение тела подвергается закручиванию относительно полюса (точки), поэтому на сопротивление кручению оказывает влияние полярный момент инерции этого сечения.

На изгиб могут работать многие элементы конструкций – оси, валы, балки, зубья зубчатых колес, рычаги, тяги и т. д.

В сопротивлении материалов рассматривают несколько типов изгибов:
- в зависимости от характера внешней нагрузки, приложенной к брусу, различают чистый изгиб и поперечный изгиб;
- в зависимости от расположения плоскости действия изгибающей нагрузки относительно оси бруса - прямой изгиб и косой изгиб.

Чистый и поперечный изгиб балки

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент (рис. 2).
Деформация чистого изгиба будет, например, иметь место, если к прямому брусу в плоскости, проходящей через ось, приложить две равные по величине и противоположные по знаку пары сил. Тогда в каждом сечении бруса будут действовать только изгибающие моменты.

Если же изгиб имеет место в результате приложения к брусу поперечной силы (рис. 3), то такой изгиб называется поперечным . В этом случае в каждом сечении бруса действует и поперечная сила, и изгибающий момент (кроме сечения, к которому приложена внешняя нагрузка).

Если брус имеет хоть одну ось симметрии, и плоскость действия нагрузок совпадает с ней, то имеет место прямой изгиб , если же это условие не выполняется, то имеет место косой изгиб .

При изучении деформации изгиба будем мысленно представлять себе, что балка (брус) состоит из бесчисленного количества продольных, параллельных оси волокон.
Чтобы наглядно представить деформацию прямого изгиба, проведем опыт с резиновым брусом, на котором нанесена сетка продольных и поперечных линий.
Подвергнув такой брус прямому изгибу, можно заметить, что (рис. 1):

- поперечные линии останутся при деформации прямыми, но повернутся под углом друг другу;
- сечения бруса расширятся в поперечном направлении на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой стороне;
- продольные прямые линии искривятся.

Из этого опыта можно сделать вывод, что:

- при чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений;
- волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются, на вогнутой стороне – сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины.

Полагая справедливой гипотезу о не надавливании волокон, можно утверждать, что при чистом изгибе в поперечном сечении бруса возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия, неравномерно распределенные по сечению.
Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью . Очевидно, что на нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.

Изгибающий момент и поперечная сила

Как известно из теоретической механики, опорные реакции балок определяют, составляя и решая уравнения равновесия статики для всей балки. При решении задач сопротивления материалов, и определении внутренних силовых факторов в брусьях, мы учитывали реакции связей наравне с внешними нагрузками, действующими на брусья.
Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений, причем изображать балку будем только одной линией – осью, к которой приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей).

Рассмотрим два случая:

1. К балке приложены две равные и противоположные по знаку пары сил.
Рассматривая равновесие части балки, расположенной слева или справа от сечения 1-1 (рис. 2), видим, что во всех поперечных сечениях возникает только изгибающий момент М_и , равный внешнему моменту. Таким образом, это случай чистого изгиба.

Изгибающий момент есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что изгибающий момент имеет разное направление для левой и правой частей балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака изгибающего момента.

2. К балке приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей), перпендикулярные оси (рис. 3). Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа, видим, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий момент М _и и поперечная сила Q .
Из этого следует, что в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту, но и касательные, соответствующие поперечной силе.

Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака поперечной силы.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным .

У балки, находящейся в равновесии вод действием плоской системы сил, алгебраическая сумма моментов всех активных и реактивных сил относительно любой точки равна нулю; следовательно, сумма моментов внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих на балку справа или слева от сечения .

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, перпендикулярных оси (т. е. системы параллельных сил), алгебраическая сумма всех внешних сил равна нулю; следовательно сумма внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна алгебраической сумме сил, действующих на балку правее сечения.
Таким образом, поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения .

Так как правила знаков статики неприемлемы для установления знаков изгибающего момента и поперечной силы, установим для них другие правила знаков, а именно: Если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечении считается положительным, и наоборот, если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вверх, то изгибающий момент в сечении считается отрицательным (рис 4,a).

Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, если равнодействующая направлена вниз, то поперечная сила в сечении считается отрицательной; для части балки, расположенной справа от сечения, знаки поперечной силы будут противоположными (рис. 4,b). Пользуясь этими правилами, следует мысленно представлять себе сечение балки жестко защемлённым, а связи отброшенными и замененными реакциями.

Еще раз отметим, что для определения реакций связей пользуются правилами знаков статики, а для определения знаков изгибающего момента и поперечной силы – правилами знаков сопротивления материалов.
Правило знаков для изгибающих моментов иногда называют "правилом дождя" , имея в виду, что в случае выпуклости вниз образуется воронка, в которой задерживается дождевая вода (знак положительный), и наоборот – если под действием нагрузок балка выгибается дугой вверх, вода на ней не задерживается (знак изгибающих моментов отрицательный).

Читайте также:

  
• Салат анфиска из баклажанов на зиму
  
• Иридодиктиум посадка и уход в открытом грунте
  
• Подготовка пациентки к ктг и узи плода алгоритм
  
• Как собрать портфолио для детского сада
  
• Крыжовник зеленый дождь описание сорта