Сколькими способами 6 человек могут встать в очередь на посадку в автобус
Обновлено: 05.10.2024
Перестановки без повторений
Перестановками из n элементов называются различные упорядочения множества X .
Из этого определения следует, что две перестановки отличаются только порядком элементов и их можно рассматривать как частный случай размещений.
Формула: Число различных перестановок без повторений вычисляется по формуле
$$P_n=n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot . \cdot 2 \cdot 1$$
Заметим, что в любую перестановку входят все элементы множества Х, причём ровно по одному разу. То есть перестановки одна от другой отличаются только порядком следования элементов и могут получиться одна из другой перестановкой элементов (отсюда и название).
Пример. Сколькими способами можно разместить на полке 5 книг?
Решение. Способов размещения книг на полке существует столько, сколько существует различных перестановок из пяти элементов: $P_5=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ способов.
Замечание. Формулу перестановок всегда можно заменить более универсальным правилом произведения
1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу: 1) 3 человека; 2) 5 человек?
Различные варианты расположения п человек в очереди отличаются один от другого только порядком расположения людей, т. е. являются различными перестановками из п элементов.
Три человека могут встать в очередь $Р_3 = 3! = 6$ различными способами.
Ответ: 1) 6 способов; 2) 120 способов.
2. Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?
Количество человек равно количеству мест на скамейке, поэтому количество способов размещения равно числу перестановок из 4 элементов: $Р_4 = 4! = 24$.
Можно рассуждать по правилу произведения: для первого человека можно выбрать любое из 4 мест, для второго - любое из 3 оставшихся, для третьего - любое из 2 оставшихся, последний займет 1 оставшееся место; всего есть $4*3*2*1= 24$ разных способов Размещения 4 человек на четырехместной скамейке.
Ответ: 24 способами.
3. У Вовы на обед - первое, второе, третье блюда и пирожное. Он обязательно начнет с пирожного, а все остальное съест в произвольном порядке. Найдите число возможных вариантов обеда.
После пирожного Вова может выбрать любое из трех блюд, затем - из двух, и закончить оставшимся. Общее число возможных вариантов обеда: $P_3=3!=6$.
4. Сколькими способами можно с помощью букв К, L, М, Н обозначить вершины четырехугольника?
Будем считать, что вершины четырехугольника пронумерованы, за каждой закреплен постоянный номер. Тогда задача сводится к подсчету числа разных способов расположения 4 букв на 4 местах (вершинах), т. е. к подсчету числа различных перестановок: $Р_4 = 4! =24$ способа.
Ответ: 24 способа.
5. Четыре друга купили билеты в кино: на 1-е и 2-е места в первом ряду и на 1-е и 2-е места во втором ряду. Сколькими способами друзья могут занять эти 4 места в кинотеатре?
Четыре друга могут занять 4 разных места $Р_4 = 4! = 24$ различными способами.
Ответ: 24 способа.
6. Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов может он выбрать?
Под маршрутом следует понимать порядок посещения курьером учреждений. Пронумеруем учреждения номерами от 1 до 7, тогда маршрут будет представляться последовательностью из 7 Цифр, порядок которых может меняться. Количество маршрутов равно числу перестановок из 7 элементов: $Р_7= 7! = 5 040$.
Ответ: 5 040 маршрутов.
7. Сколько существует выражений, тождественно равных произведению abcde, которые получаются из него перестановкой множителей?
Дано произведение пяти различных сомножителей abcde, порядок которых может меняться (при перестановке множителей произведение не меняется).
Всего существует $Р_5 = 5! = 120$ различных способов расположения пяти множителей; один из них (abcde) считаем исходным, остальные 119 выражений тождественно равны данному.
Ответ: 119 выражений.
8. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры следуют. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.
Три последних цифры телефонного номера могут быть расположены в одном из $Р_3 =3! =6$ возможных порядков, из которых только один верный. Ольга может сразу набрать верный вариант, может набрать его третьим, и т. д. Наибольшее число вариантов ей придется набрать, если правильный вариант окажется последним, т. е. шестым.
Ответ: 6 вариантов.
Перестановки с повторением
Пусть дано множество $X = $. Составим кортеж длиной $n$, в который элемент $x_1$ входит $n_1$ раз, $x_2 - n_2$ раза,$x_r - n_r$ раз. Назовем составом этого кортежа новый кортеж $(n_1, n_2, n_r)$. Кортежи данного состава называют перестановками с повторением из $n_1$ элементов $х_1$, $n_2$ элементов $х_2,n_r$ элементов $x_r$. Их число выражается формулой
Выясним, сколькими способами можно установить очередность 6 человек.
1 человек может быть и первым, и вторым, и третьим, и четвертым, и пятым, и шестым. То есть возможно 6 вариантов.
2 в очереди тоже может занимать любую из 6 позиций. Вывод здесь тоже может быть 6 вариантов.
Для третьего очередного такие же варианты построение в очереди.
Для четвертого тоже возможны варианты 1,2,3,4,5,6.
Пятый может занимать 1 из 6 позиций, так же как и 6 участник очереди.
Исходя из всего вышесказанно можно сделать вывод, что любой из стоящих в очереди может оказаться под любым номером в очереди. Соответственно, что существует 6 * 6 = 36 вариантов.
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
Похожие решебники
Популярные решебники 9 класс Все решебники
Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.
Рассмотрим частный случай, когда k=n. Соответствующее этому случаю размещение называется перестановкой.
Перестановками из n элементов называются такие комбинации, каждая из которых содержит все n элементов и которые отличаются друг от друга лишь порядком расположения элементов.
Поясним это на следующем примере. Из этих трёх элементов: a, b и c. можно составить шесть перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba. Все приведённые перестановки отличаются друг от друга только порядком их расположения.
Число перестановок n различных элементов обозначают символом Pn и равно
Пример 5.1. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?
Решение. Будем считать выделенные книги за одну книгу. Тогда уже для шести книг существует P6=6!=720 перестановок. Однако четыре определенные книги можно переставить между собой P4=4!=24 способами. По принципу умножения имеем
P6P4 = 720×24 = 17280.
Пример 5.2. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра в изображении числа встречается один раз?
Решение. Рассматриваемое число может быть представлено как некоторая перестановка из цифр 0, 1, 2, 3, в которой первая цифра отлична от нуля. Так как число перестановок из четырех цифр равно P4=4! и из них 3! перестановок начинаются с нуля, то искомое количество равно
4! – 3! = 3×3! = 3×1×2×3 = 18.
Пример 5.3. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
Решение. Естественно предположить, что как мужчины, так и женщины различимы. Предположим также, что места за столом также различимы. Пронумеруем их. Если женщины займут чётные места n! способами, то мужчины будут занимать нечётные места тоже n! способами и наоборот. По правилу умножения получаем .
Если места за столом неразличимы, то стол можно поворачивать на одно место, то при этом расположение сидящих не изменится (такая ситуация имеет место, например, на карусели). Поскольку имеется n способов расположения стола относительно сидящих, то предыдущий результат нужно разделить на n.
Вопрос. Сколькими способами можно посадить за круглый стол n супружеских пар, если супруги должны сидеть рядом?
5.1. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани 6 различных цветов и все стулья должны быть разного цвета.
Ответ: .
5.2. Дачник выделил на своём участке семь грядок для выращивания овощей, т. к. хочет иметь свои помидоры, огурцы, перец, лук, чеснок, салат и кабачки. Каждый вид должен иметь отдельную грядку. Сколькими способами он может расположить грядки для посадки?
Ответ: .
5.3. Пассажирский поезд состоит из трех багажных вагонов и восьми купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале?
Ответ: .
5.4. В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?
Ответ:
5.5. Сколькими способами можно упорядочить множество так, чтобы каждое чётное число стояло на чётном месте?
Ответ: .
5.6. Четыре мальчика и четыре девочки рассаживаются в ряд на восемь подряд расположенных мест, причем мальчики садятся на четные места, а девочки – на нечетные. Сколькими способами они могут это сделать?
Ответ: .
5.7. Сколькими способами можно посадить за круглый стол трех мужчин и трех женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
Ответ: .
5.8. На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов, если Б не должен выступать до того, как выступил А? Решите эту же задачу, если Б должен выступить сразу после А.
Читайте также: