Собранный урожай пшеницы растет в геометрической прогрессии в течении месяца опытный ученый
Обновлено: 15.09.2024
Годовое производство пшеницы — это суммарная масса всех сортов пшеницы, выращенная в стране в течение года. Обычно измеряется в млн тонн. Урожайность пшеницы (в ц/га) — масса пшеницы в центнерах по отношению к общей площади посевных площадей в гектарах. На диаграмме показано производство пшеницы в млн. тонн в четырёх странах: во Франции, в Аргентине, в США и в Австралии за шесть лет, начиная с 2001 года. Рассмотрите диаграмму и прочтите фрагмент сопровождающей статьи.
В 2002 году в США, особенно в южных штатах, всё лето стояла жара и жестокая засуха, свирепствовали лесные пожары. Всё это негативно сказалось на урожае зерновых, в частности пшеницы. В том же году невероятно сухая погода в Австралии также привела к гибели посевов, но самая сильная засуха в Австралии случилась четыре года спустя — в 2006 году. Тогда производство сельскохозяйственных культур в этой стране упало на 20 %, сильнее всего пострадало производство пшеницы.
Назовите ещё один-два фактора, кроме погодных условий, которые могут повлиять на производство пшеницы в той или иной стране.
В США в 2003 году наблюдается резкий рост производства пшеницы. Похожая ситуация В Австралии в 2003 году. Чем можно объяснить такие пики производства после неудачных лет?
Например, сокращение или увеличение посевных площадей, нападение вредителей или массовое заболевание посевов; использование тех или иных удобрений или пестицидов; внедрение новых технологий.
В результате низкого урожая в стране снижаются запасы пшеницы, а цены на неё растут. На следующий год фермеры резко увеличивают производство пшеницы, так как это становится более прибыльным.
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
История возникновения арифметической и геометрической прогрессий.
Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.
Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.
На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед. (ок. 287 – 212 гг. до н.э.).
В XVIII веке в английских учебниках появились обозначения арифметической и геометрической прогрессии: арифметическая
Сведения, связанные с прогрессиями, впервые встречаются в дошедших до нас документах Древней Греции. Уже в веке до н.э. греки знали следующие прогрессии и их суммы:
Задача из египетского папируса Ахмеса:
Формула которой пользовались египтяне:
Ответ: Если бы царю удалось засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая моря, и океаны, и горы, и пустыню, и Арктику с Антарктикой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за 5 он смог бы рассчитаться с Сетом. Такое количество зерна пшеницы можно собрать лишь с площади в 2000раз большей поверхности Земли. Это превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.
Задача из арифметики Магницкого.
Прогрессия в литературе.
Ямб - это стихотворный размер с ударением на чётных слогах 2, 4, 6, 8,…стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разность прогрессии 2.
Хорей - это стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7,…
Прогрессии в жизни и быту.
Для решения некоторых задач по физике, геометрии, биологии, химии, экономике, строительному делу используются формулы арифметической и геометрической прогрессий.
Интересные факты .
При повышении температуры по арифметической прогрессии скорость химических реакций растёт по геометрической прогрессии.
Вписанные друг в друга правильные треугольники образуют геометрическую прогрессию.
Нейтрон, ударяя по ядру урана, раскалывает его на две части. Получаются 2 нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывает их ещё на 4части и т.д. - это геометрическая прогрессия.
Микроорганизмы размножаются делением пополам, поэтому при благоприятных условиях, через одинаковый промежуток времени их число удваивается.
Вклады в банках увеличиваются по схемам сложных и простых процентов. Простые проценты – увеличение первоначального вклада в арифметической прогрессии, сложные проценты – увеличение в геометрической прогрессии.
Когда создатель шахмат (древнеиндийский математик по имени Сесса) показал своё изобретение правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у короля за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы, за второе — два, за третье — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно.С изумлением внимал царь словам старца.
— Назови же мне это чудовищное число, – сказал он.
— 18 квинтильонов 446 квадрильонов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, о повелитель!
Если принять, что одно зёрнышко пшеницы имеет массу 0,065 грамма, тогда общая масса пшеницы на шахматной доске составит 1,200 триллионов тонн, что превышает весь объем урожая пшеницы, собранный за всю историю человечества!
Геометрическая прогрессия — последовательность чисел ( членов прогрессии ) , в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число ( знаменатель прогрессии ):
Например, последовательность 1, 2, 4, 8, 16, … – геометрическая ()
Знаменатель геометрической прогрессии
Характеристическое свойство геометрической прогрессии
Последовательность является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется указанное выше соотношение.
В частности, для геометрической прогрессии с положительными членами, верно:
Формула n-го члена геометрической прогрессии
Сумма n первых членов геометрической прогрессии
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
При , геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей . Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число и
Примеры
Пример 1 . Последовательность <> –геометрическая прогрессия.
Приметр 2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии <>, в которой
Помните, при работе с арифметической прогрессией, мы пользовались формулой, которая позволяла связать между собой не только и , но и (шире) и ?
В геометрической прогрессии мы также воспользуемся аналогичной формулой:
Пример 3. Найдите девятый член геометрической прогрессии, если ее десятый член равен , а одиннадцатый член равен
Воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии
Пример 4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии
Для того, чтобы воспользоваться формулой , нам следует найти знаменатель
Пример 5. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии <>, в которой
Найдем знаменатель прогрессии :
Так как по условию , то берем только .
Далее, чтобы применить формулу суммы геометрической прогрессии
нам потребуется найти :
Пример 6. Представьте в виде обыкновенной дроби число
Замечаем, что число составлено из суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Пусть эта прогрессия <>,
Тогда сумма бесконечно убывающей прогрессии <> (а значит, и само число ) есть
Пример 7. Найдите , если известно, что числа являются последовательными членами геометрической прогрессии (в указанном порядке).
Согласно характеристическому свойству геометрической прогрессии имеем:
При найденном имеем следующую геометрическую прогрессию:
Пример 8. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, отношение суммы первых четырех членов которой, к сумме первых двух членов равно
Пусть дана геометрическая прогрессия <>.
Тогда, согласно условию,
Пример 9. Между числами и вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия
Когда мы вставим три числа (назовем их ), у нас получится геометрическая прогрессия из пяти членов ().
Проект позволит показать, что многие явления в природе подчиняются законам арифметической или геометрической прогрессии.
Описание разработки
Содержание.
2. "Прогрессия в природе".
3. Краткая аннотация проекта.
4.1 Интересные примеры из жизни.
4.2 Быстрое размножение.
4.4 Размножение Тли.
4.5 Как быстро размножается всем известная комнатная муха?
4.6 Сколько же может получиться маков из одной маковой головки?
4.7 Размножение в геометрической прогрессии
Введение: "Прогрессия в природе".
Краткая аннотация проекта.
"Глубокое изучение природы – вот самый обильный источник математических открытий".
С какими явлениями природы, процессами, событиями, подчиняющимся числовым закономерностям сталкивается Человек и как он эти закономерности может использовать?
Эпидемия атипичной пневмонии в 2003 году, встревожившая мир, удивила скоростью и масштабами распространения.
Завезенные в Австралию кролики так быстро размножались, что стали национальным бедствием.
Определим явления, события которые бы описывались числовыми закономерностями. Анализируя полученные данные, сделаем попытки прогнозирования результатов на основе учебного материала темы.
Цели проекта.
1. Показать, что многие явления в природе подчиняются законам арифметической или геометрической прогрессии.
2. Узнать с какими явлениями природы, процессами, событиями, подчиняющимся числовым закономерностям сталкивается Человек?
3. Как человек эти закономерности может использовать?
Весь материал - в документе.
Содержимое разработки
Исследовательская работа по теме:
Выполнил: ученик 11 класса
Бабиев Альберт
Научный руководитель:
учительница математики
Гумжачева Аминат Шумаховна
2 "Прогрессия в природе"
3 Краткая аннотация проекта.
4 Цели проекта
4.1 Интересные примеры из жизни
4.2 Быстрое размножение
4.3 Бактерии
4.4 Размножение Тли
4.5 Как быстро размножается всем известная комнатная муха?
4.6 Сколько же может получиться маков из одной маковой головки?
4.7 Размножение в геометрической прогрессии
Введение: "Прогрессия в природе"
Краткая аннотация проекта.
"Глубокое изучение природы – вот самый обильный источник математических открытий".
С какими явлениями природы, процессами, событиями, подчиняющимся числовым закономерностям сталкивается Человек и как он эти закономерности может использовать?
Эпидемия атипичной пневмонии в 2003 году , встревожившая мир, удивила скоростью и масштабами распространения.
Завезенные в Австралию кролики так быстро размножались, что стали национальным бедствием.
Цели проекта
1.Показать, что многие явления в природе подчиняются законам арифметической или геометрической прогрессии.
2.Узнать с какими явлениями природы, процессами, событиями, подчиняющимся числовым закономерностям сталкивается Человек?
3.Как человек эти закономерности может использовать?
Интересные примеры из жизни
Живые существа
Вовлечены в процессы развития во времени
И мы обнаруживаем, что некоторые из этих процессов подчинены законам числовой последовательности.
Абрахам де Муавр – английский математик, обнаружил, что продолжительность его сна увеличивается на 15 минут в день. Составив арифметическую прогрессию, он определил дату, когда она достигла бы 24 часов. Это — 27 ноября 1754 года. В этот день он и умер.
Так с помощью арифметической прогрессии можно предугадать какой-либо результат развития природного явления.
Быстрое размножение
БАКТЕРИИ В ПРИРОДЕ.
Практически нет места на Земле, где бы ни встречались бактерии.
Они живут во льдах Антарктиды при t - 830С и в горячих источниках, t которых достигает + 850 до -900С.
Число бактерий различно в воздухе проветренных и непроветренных помещений. Так, в классе после проветривания перед началом урока бактерий в 13 раз меньше, чем в той же комнате после урока. Условия жизни бактерий разнообразны, также разнообразны и функции бактерий в нашей жизни. Но всевозможные виды бактерий размножаются делением одной клетки на две, каждая из этих двух в свою очередь также делится на две и получается 4 бактерии, потом 8 и т.д. Если одну бактерию поместить в идеальные условия с обилием пищи, то за одни сутки её потомство должно составить 281 474 976 710 656 клеток. Таким образом, мы имеем дело с примером геометрической прогрессии в природе.
Быстрое размножение бактерий
Размножение Тли
Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев, одна единственная тля может оставить более 300 млн. потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем толщиной почти в 1 метр. С какой интенсивностью размножаются тли?
Как быстро размножается всем известная комнатная муха?
По наблюдениям Карла Линнея: потомство пары мух съест мёртвую лошадь также скоро как лев”. Девятое поколение одной пары мух наполнило бы куб, сторона которого равна 140 км, или же составило бы нить, которой можно опоясать земной шар 40 млрд. раз.
Пусть каждая муха откладывает 120 яичек и пусть в течение лета успевает появиться 7 поколений мух, половина которых - самки. За начало первой кладки примем 15 апреля и будем считать, что муха-самка в 20 дней вырастает настолько, что сама откладывает яйца. Тогда размножение будет происходить так:
•15 апреля - самка отложила 120 яиц; в начале мая - вышло 120 мух, из них 60 самок.
•5 мая - каждая самка кладет 120 яиц; в середине мая - выходит 60 x 120 = 7200 мух, из них 3600 самок;
•25 мая - каждая из 3600 самок кладет по 120 яиц; в начале июня - выходит 3600 x 120 = 432 000 мух, из них 216000 самок;
•14 июня - каждая из 216000 самок кладет по 120 яиц; в конце июня - выходит 25920000 мух, в их числе 1296000 самок;
•5 июля - 12960000 самок кладут по 120 яиц; в июле - выходит 1555200000 мух, среди них 777600000 самок;
•25 июля - выходит 93312000000 мух, среди них 46656000000 самок;
•13 августа - выходит 5598720000000 мух, среди них 2799360000000 самок;
•1 сентября - выходит 355923200000000 мух.
Чтобы яснее представить себе эту огромную массу мух, которые при беспрепятственном размножении могли бы в течение одного лета народиться от одной пары, вообразим, что они выстроены в прямую линию, одна около другой. Так как длина мухи 5 мм, то все эти мухи вытянулись бы на 2500 млн. км - в 18 раз больше, чем расстояние от Земли до Солнца (т. е. примерно, как от Земли до далекой планеты Уран).
Одуванчик, приносящий ежегодно около 100 семянок*. Если бы все они прорастали, мы имели бы: в 1 год 1 растение в 2 года 100 растений в 3 года 10000 растений в 4 года 1000000 растений в 5 года 100000000 растений в 6 года 10000000000 растений в 7 года 1000000000000 растений в 8 года 100000000000000 растений в 9 года 10000000000000000 растений
(В одной головке одуванчика было насчитано даже около 200 семянок.)
Это в 70 раз больше, чем имеется квадратных метров на всей суше. Следовательно, на 9-м году материки земного шара были бы покрыты одуванчиками, по 70 на каждом квадратном метре. Почему же в действительности не наблюдаем мы такого чудовищно быстрого размножения? Потому, что огромное большинство семян погибает, не давая ростков: они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями, или же, наконец, просто истребляются животными. Но если бы этого массового уничтожения семян и ростков не было, каждое растение в короткое время покрыло бы сплошь всю нашу планету
Сколько же может получиться маков из одной маковой головки?
Спелая маковая головка полна крошечных зернышек: из каждого может вырасти целое растение. Сколько же получится маков, если зернышки все до единого прорастут? Чтобы узнать это, надо сосчитать зернышки в целой головке. Скучное занятие, но результат так интересен, что стоит запастись терпением и довести счет до конца. Оказывается, одна головка мака содержит (круглым числом) 3000 зернышек. Что отсюда следует? То, что будь вокруг нашего макового растения достаточная площадь подходящей земли, каждое упавшее зернышко дало бы росток, и будущим летом на этом месте выросло бы уже 3000 маков. Целое маковое поле от одной головки! Посмотрим же, что будет дальше. Каждое из 3000 растений принесет не менее одной головки (чаще же несколько), содержащей 3000 зерен. Проросши, семена каждой головки дадут 3000 новых растений, и, следовательно, на второй год у нас будет уже не менее 3000 × 3000 = 9000000 растений. Легко рассчитать, что на третий год число потомков нашего единственного мака будет уже достигать 9000000 × 3000 = 27000000000. А на четвертый год 27000000000 × 3000 = 81000000000000. На пятом году макам станет тесно на земном шаре, потому что число растений сделается равным 81000000000000 × 3000 = 243000000000000000. Поверхность же всей суши, т. е. всех материков и островов земного шара, составляет только 135 миллионов квадратных километров, - 135000000000000 кв. м. - примерно в 2000 раз менее, чем выросло бы экземпляров мака. Вы видите, что если бы все зернышки мака прорастали, потомство одного растения могло бы уже в пять лет покрыть сплошь всю сушу земного шара густой зарослью по две тысячи растений на каждом квадратном метре. Вот какой числовой великан скрывается в крошечном маковом зернышке!
Размножение в геометрической прогрессии
На острове Ямайке водились в изобилии ядовитые змеи. Чтобы от них избавиться, решено было ввезти на остров птицу-секретаря, яростного истребителя ядовитых змей. Число змей действительно вскоре уменьшилось, зато необычайно расплодились полевые крысы, раньше поедавшиеся змеями. Крысы приносили такой ущерб плантациям сахарного тростника, что пришлось серьезно подумать об их истреблении. Известно, что врагом крыс является индийский мангуст. Решено было привести на остров 4 пары этих животных и предоставить им свободно размножаться. Не прошло и десяти лет, как мангусты уничтожили на нем крыс. Но увы - истребив крыс, мангусты стали питаться чем попало, сделавшись всеядными животными: нападали на щенят, козлят, поросят, домашних птиц и их яйца. Затем принялись за плодовые сады, хлебные поля, плантации. Жители приступили к уничтожению своих недавних союзников, но им удалось лишь до некоторой степени ограничить приносимый мангустами вред.
В ходе реализации проекта, помимо освоения учебного материала темы я осознал его практическую значимость. Через поиск информации в различных источниках, наблюдение окружающей природы и деятельности человека мы определили некоторые явления, события, которые описываются числовыми закономерностями. Анализируя полученные данные, я понял, что можно прогнозировать результат того или иного природного явления на основе знаний по теме "Числовые последовательности".
Читайте также: