Сколько существует способов выбрать 4 яблока из 10

Обновлено: 18.09.2024

Презентация на тему: " Решение комбинаторных задач с помощью формулы сочетания." — Транскрипт:

1 Решение комбинаторных задач с помощью формулы сочетания.

2 ЦЕЛЬ: Решение комбинаторных задач с помощью формулы сочетания.

3 С ОЧЕТАНИЯ Комбинации из n элементов по k, отличающиеся друг от друга лишь составом элементов, называются сочетаниями из n элементов по k., (k n)

4 Задача : На столе лежат 5 разноцветных карандашей. Сколько существует способов для выбора 3 из них? Ответ: 10 способов

5 Задача: Из 12 учеников нужно выбрать 3 ученика на улусный новогодний бал. Сколькими способами можно сделать этот выбор? Ответ: 220 способов

6 Задача: Сколько диагоналей в выпуклом десятиугольнике? Ответ: 45 диагоналей.

7 Задача: Сколько существует способов выбора трёх ребят из 4-х желающих дежурить в столовой? Ответ: 4 способа.

8 Задача: В корзине имеются 15 груш и 7 яблок. Нужно выбрать 5 груш и 3 яблока. Сколькими способами это можно сделать? Ответ: способа. Подсчитаем способы выбора 5 груш: Подсчитаем способы выбора 3 яблок: =105105

* 6! ) = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 / ((1 * 2 * 3 * 4) * (1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6)) = 7 * 8 * 9 * 10 / (1 * 2 * 3 * 4) = 7 * 2 * 3 * 5 = 210.

Есть 3 лимона 4 яблока и 5 груш?

Есть 3 лимона 4 яблока и 5 груш.

Сколько существует способов выбрать три фрукта - лимон, яблоко и грушу?

Сколькими способами из 25 человек можно выбрать трёх дежурных?

Сколькими способами из 25 человек можно выбрать трех дежурных ?

Сколькими способами из 20 книг можно выбрать 16 книг?

Сколькими способами можно выбрать старосту и профорга группы, если в группе 25 человек?

Сколькими способами из 25 человек можно выбрать трех дежурных?

В классе 15 учащихся?

В классе 15 учащихся.

Сколькими способами можно из них выбрать 5 учащихся.

В классе 15 учащихся сколькими способами можно из них выбрать 5 учащихся сколькими способами из 7 различных книг можно выбрать 3?

В классе 15 учащихся сколькими способами можно из них выбрать 5 учащихся сколькими способами из 7 различных книг можно выбрать 3.

Сколькими способами можно выбрать 3 дежурных из 18 учеников?

Сколькими способами можно выбрать четырёх дежурных из 6 человек?

Комбинаторика – раздел математики, который изучает задачи выбора и расположения элементов из некоторого основного множества в соответствии с заданными правилами. Формулы и принципы комбинаторики используются в теории вероятностей для подсчета вероятности случайных событий и, соответственно, получения законов распределения случайных величин. Это, в свою очередь, позволяет исследовать закономерности массовых случайных явлений, что является весьма важным для правильного понимания статистических закономерностей, проявляющихся в природе и технике.

Правила сложения и умножения в комбинаторике

Правило суммы. Если два действия А и В взаимно исключают друг друга, причем действие А можно выполнить m способами, а В – n способами, то выполнить одно любое из этих действий (либо А, либо В) можно n + m способами.

Пример 1.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить одного дежурного?

Дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку, т.е. дежурным может быть любой из 16 мальчиков, либо любая из 10 девочек.

По правилу суммы получаем, что одного дежурного можно назначить 16+10=26 способами.

Правило произведения. Пусть требуется выполнить последовательно k действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, второе действие n₂ способами, третье – n₃ способами и так до k-го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все k действий вместе могут быть выполнены:

Пример 2.

В классе учится 16 мальчиков и 10 девочек. Сколькими способами можно назначить двух дежурных?

Первым дежурным можно назначить либо мальчика, либо девочку. Т.к. в классе учится 16 мальчиков и 10 девочек, то назначить первого дежурного можно 16+10=26 способами.

После того, как мы выбрали первого дежурного, второго мы можем выбрать из оставшихся 25 человек, т.е. 25-ю способами.

По теореме умножения двое дежурных могут быть выбраны 26*25=650 способами.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе сочетаний без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать m из n различных предметов ?

Пример 3.

Необходимо выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся различных книг. Сколькими способами можно это сделать?

Нам из 10 книг нужно выбрать 4, причем порядок выбора не имеет значения. Таким образом, нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 4:

Рассмотрим задачу о числе сочетаний с повторениями: имеется по r одинаковых предметов каждого из n различных типов; сколькими способами можно выбрать m () из этих (n*r) предметов?

Пример 4.

В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?

Т.к. среди 7 пирожных могут быть пирожные одного сорта, то число способов, которыми можно купить 7 пирожных, определяется числом сочетаний с повторениями из 7 по 4.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений без повторений, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n различных предметов?

Пример 5.

В некоторой газете 12 страниц. Необходимо на страницах этой газеты поместить четыре фотографии. Сколькими способами можно это сделать, если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии?

В данной задаче мы не просто выбираем фотографии, а размещаем их на определенных страницах газеты, причем каждая страница газеты должна содержать не более одной фотографии. Таким образом, задача сводится к классической задаче об определении числа размещений без повторений из 12 элементов по 4 элемента:

Таким образом, 4 фотографии на 12 страницах можно расположить 11880 способами.

Также классической задачей комбинаторики является задача о числе размещений с повторениями, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно выбрать и разместить по m различным местам m из n предметов, среди которых есть одинаковые?

Пример 6.

У мальчика остались от набора для настольной игры штампы с цифрами 1, 3 и 7. Он решил с помощью этих штампов нанести на все книги пятизначные номера– составить каталог. Сколько различных пятизначных номеров может составить мальчик?

Можно считать, что опыт состоит в 5-кратном выборе с возращением одной из 3 цифр (1, 3, 7). Таким образом, число пятизначных номеров определяется числом размещений с повторениями из 3 элементов по 5:

Перестановки без повторений. Перестановки с повторениями

Классической задачей комбинаторики является задача о числе перестановок без повторения, содержание которой можно выразить вопросом: сколькими способами можно разместить n различных предметов на n различных местах?

Пример 7.

Для случая, когда среди выбираемых n элементов есть одинаковые (выборка с возвращением), задачу о числе перестановок с повторениями можно выразить вопросом: сколькими способами можно переставить n предметов, расположенных на n различных местах, если среди n предметов имеются k различных типов (k

Пример 8.

Определим какое существует количество вариантов для того, чтобы из имеющихся в вазе девяти яблок нам выбрать три яблока:

С_я = 9! / (3!*(9 - 3)!) = 9 * 8 * 7 / (1 * 2 * 3) =84.

Определим какое существует количество вариантов для того, чтобы из имеющихся в вазе шести груш нам выбрать две груши:

С_г = 6! / (2! * (6 - 2)!) = 6 * 5 / (1 * 2) =15.

Определим сколькими вариантами мы можем выбрать три блока и две груши, применив метод произведения вариантов:

Ответ: Существует 1260 способов.

Написать правильный и достоверный ответ;
Отвечать подробно и ясно, чтобы ответ принес наибольшую пользу;
Писать грамотно, поскольку ответы без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок лучше воспринимаются.

Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.

Читайте также: