Говорят что в период сбора урожая помидоры спеют в арифметической прогрессии

Обновлено: 18.09.2024

Формирование математической грамотности через решение практико-ориентированных задач.

Вложение	Размер
arifmeticheskaya_progressiya._formula_n-go_chlena_arifmeticheskoy_progressii_urok_v_9_klasse.docx	23.55 КБ
prezentatsiya_k_uroku_arifmeticheskaya_progressiya._formula_n-go_chlena_arifmeticheskoy_progressii_musinoy_k.a.pptx	1.15 МБ

Предварительный просмотр:

Урок математики в 9 классе.

Учитель Мусина Ксения Абдулхадиевна

Цель: ввести понятие арифметической прогрессии, как числовой последовательности особого вида; вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии

Образовательные: Ввести понятие арифметической прогрессии, вывести формулы n-го члена,

Развивающие: развивать умения сравнивать математические понятия, находить сходства и различия, умения наблюдать, подмечать закономерности, проводить рассуждения по аналогии; развивать способности решать практико-ориентированные задачи на использование формулы n-го члена арифметической прогрессии, вычислительные навыки.

Воспитательные: формировать учебно-коммуникативные умения, воспитывать математическую культуру, внимательность, позитивное отношение к учебе, умение работать в коллективе.

Организационный момент. (рассаживаю детей на 3 группы по 4 чел.)

Добрый день ребята, сегодня урок математики буду вести у вас я, учитель гимназии г.Сызрань Мусина Ксения Абдулхадиевна, занимайте пожалуйста свои места. Обратите внимание, у каждого из вас есть рабочий лист, на котором вы будете работать во время урока.

Самоопределение к деятельности

На предыдущих уроках вы изучали числовые последовательности, какие примеры последовательностей вы можете привести?

Часто ли в жизни нам встречаются последовательности? (порядок нумерации домов и квартир, деление клетки, летоисчисление, время)

Михаил и Ольга задумали следующий новый год встретить у теплого моря и решили с января откладывать деньги два раза в месяц. В первый раз они положили в копилку 400 рублей и поняли, что если будут откладывать всегда по 400, то в итоге получится небольшая сумма. Тогда Михаил решил усложнить задачу, увеличивая каждый вклад на 150 рублей от предыдущего. Первые 4 месяца он смог просчитать без проблем каждый вклад, но задумался каков будет его последний вклад. Давайте разберемся и поможем.

У него получилась последовательность : 400; 550; 700; 850;1000; 1150; 1300; 1450 ;…(просчитать с детьми)

Что у нас получилось? (последовательность)

А последний член этой последовательности каким будет по счету?(24)

Можете ли вы так же быстро и легко его найти?

Внимательно посмотрите на эту последовательность.

- На сколько отличается 4 и 5 члены последовательности, а 1 и 2?

- Как вы это определили?

- какую закономерность вы здесь увидели?

(Каждый следующий отличается от предыдущего на 150, или каждое следующее число больше предыдущего на 150.)

Такая последовательность называется Арифметической прогрессией. Попробуйте дать ей определение. ( Учащиеся пытаются сформулировать определение, учитель им помогает) Арифметическая прогрессия – это последовательность… Совершенно верно. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

А как найти это число? (разностью соседних членов) верно! Различие между двумя соседними членами, называется разность прогрессии, и обозначается d, так как на английском difference – означает разность.

Так чем же мы сегодня на уроке будем заниматься?

На основе полученных сведений, мы с вами сейчас выведем специальную формулу, которая позволит нам находить любой член арифметической прогрессии по первому члену и разности.

a 3 =а 2 +d= a 1 +d+d=a 1 +2d

a 4 =a 3 +d= a 1 +2d+d=a 1 +3d

какую закономерность можно здесь заметить?

(множитель у разности на 1 меньше порядкового номера последовательности)

Все выше сказанное теперь мы можем преобразовать в формулу:

С помощью этой формулы можно найти не только а n , но и n, a 1, и d, решая как уравнение.

Знания об арифметической прогрессии, вы можете применять в практической жизни. Например, дома на улицах, квартиры в подъездах, размер одежды, все это арифметические прогрессии.

А теперь сможете ли вы помочь Михаилу?

Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функциях.

Карл Гаус, еще будучи учеником начальных классов смог быстро найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, увидев некоторую числовую закономерность. 1 и 100 в сумме дают 101, 2 и 99=101, и т.д.

Эту закономерность вы можете увидеть на слайде.

Зная о закономерностях арифметической прогрессии, найдите разность арифметических прогрессий представленных на слайде.

А) это арифметическая прогрессия. Первый член равен 4, разность равна 6, возрастающая арифметическая прогрессия

Б) это арифметическая прогрессия. Первый член равен 2, разность равна -1, убывающая арифметическая прогрессия

Г) это арифметическая прогрессия. Первый член равен 2, разность равна 0, постоянная арифметическая прогрессия

Вам ребята весной предстоит сдавать Обязательный Государственный Экзамен, и наверняка многие из вас уже давно начали подготовку. А вы знаете, что в Контрольно измерительных материалах ОГЭ по математике есть задание №14 на арифметическую прогрессию.

Вот и герой нашей задачи, тоже готовится к экзамену.

При подготовке к ОГЭ по математике, Андрей поставил себе цель, каждый месяц решать на 25 заданий больше, чем в предыдущий месяц. Готовиться он начал в начале учебного года, и в первый месяц решил 140 заданий. Сколько заданий Андрей решит в марте?

В рабочих листах №2 записан ряд цифр от 1 до 9. Раскрасьте эти цифры красными и синими цветами в любом порядке. Как это сделала я на слайде. А пока вы выполняете задание, я расскажу вам про замечательного математика по имени Френк Пламптон Рамсей. Он жил в начале 20 века, им была создана теория доказывающая, что в мире нет абсолютного хаоса. Что даже самая неупорядоченная система имеет определенные математические закономерности. Когда мы смотрим на звезды, то кажется, что расположены они в самом случайном порядке. Но еще в древности люди увидели созвездия. А теперь посмотрим на ваши цифры раскрашенные в случайном порядке, хотя бы три каких-либо числа одного цвета обязательно составляют арифметическую прогрессию. Этот факт и был доказан Рамсеем.

Теперь вы знаете, что в мире нет абсолютного хаоса, значит во многих сферах жизни можно применить арифметическую прогрессию. Рассмотрим некоторые примеры. Каждой группе дано задание, оно расположено на оборотной стороне ваших рабочих листов, на его выполнение у вас есть 3 минуты.

1 группа: АП в физике

Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду – на 9,8 м больше, чем в предыдущую. На сколько большее расстояние пролетит капля дождя за 9ю секунду, чем за 1ю?

2 группа: АП в медицине

Врач прописал больному капли по следующей схеме: в первый день 5 капель, а в каждый следующий день на одно и тоже количество капель больше чем в предыдущий, в последний день приема доза должна достигнуть 40 капель. На сколько капель больному нужно увеличивать дневную дозу лекарства, если лечение длится 6 дней.

3 группа: АП в предпринимательской деятельности

(На решение задач учащимся дается 3 минут, после чего проверяем решение групп, если необходимо учитель вносит коррективы, на слайде появляется правильное решение)

Время для решения задач подошло к концу, отложите ручки, проверим что у вас получилось. Слово предоставляется 1-ой, 2-ой, 3-ей группе.

Как вы пришли к этому результату, расскажите решение.

Мы сегодня говорили о прогрессии, которая называется Арифметической, пополнили свои знания, применили эти знания в решении практических задач.

-Как вы думаете, а мы сегодня добились прогресса?

-В чём заключается наш прогресс?

- А зачем нужно изучать прогрессию?

Подошел к концу урок

Приобрели мы знания,

Безделью, лени – вышел срок,

Лишь труд – прогресс познания

Я желаю, чтобы арифметические прогрессии и вообще математика вели по жизни вас только вперёд! Я благодарю всех за работу! Мне было приятно с вами общаться! До свидания!

9 класс — самое насыщенное время за все школьные годы: нужно запомнить множество формул и научиться их применять. В этом материале расскажем самое главное об арифметической прогрессии.

О чем эта статья:

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Последовательности можно задавать разными способами:

Последовательность y_n = C называют постоянной или стационарной.

Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: a_n+1 = a_n + a_n-1.

Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Свойства числовых последовательностей:

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.

Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, −1, −2, −11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

Пример числовой последовательности выглядит так:

В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.

N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a₁, a₂. a₁₀. a_n.

N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:

Формула a_n = 3n − 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
Формула a_n = 1 : (n + 2) задает последовательность: 1/3, 1/4, 1/5, 1/6.

Определение арифметической прогрессии

Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.

Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.

a_n+1= a_n + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a₁ и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23. — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

Свойство арифметической прогрессии

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Значит,

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулу a_n = a₁ + d * (n - 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (а_n) обозначается S_n:

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (a_n), где a₁ = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

a₁₀ = a₁ + 2 * (10 - 1) = 0 + 2⋅9 = 18.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (b_n), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

b_n+1 = b_n * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

Если в геометрической прогрессии (b_n) известен первый член b₁ и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

b_n = b₁ * q n−1 , где n — порядковый номер члена прогрессии, b₁ — первый член прогрессии, q — знаменатель.

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 3, -3, 3, -3,… — геометрическая прогрессия b = 3, q = -1.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

Подписи к слайдам:

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:

Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии

вычисляется по формуле:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних:

а) Если в первый месяц у Василия 2 ученика и каждый месяц число учеников увеличивается на 1, то сколько заработает Василий за 12-й месяц работы?

В первый месяц у Василия два ученика. Во второй – три ученика, в третий – четыре, в каждый следующий – на одного ученика больше. Число учеников Василия образует арифметическую прогрессию, где – первый член прогрессии, d = 1 – разность прогрессии.

1. Студент Василий задумал стать репетитором. Он рассчитал, что будет проводить ровно 4 занятия в месяц с каждым учеником и стоимость каждого занятия составит 1000 рублей.

б) Сколько всего заработает Василий за год (то есть за 12 месяцев работы)?

2. Проработав год репетитором, студент Василий обнаружил, что вместе с количеством учеников растут и его расходы на транспорт. В первый месяц Василий потратил на поездки к ученикам 800 рублей и каждый следующий месяц эта сумма увеличивалась на 300 рублей

Сколько денег потратил Василий на поездки к ученикам за весь год?

3. Ученица Маша хочет сдать тест не менее чем на 88 баллов. Студент Василий заметил, что каждый месяц результат Маши увеличивается на 7 баллов. За сколько месяцев занятий Маша достигнет результата, если ее результат до начала занятий составлял 43 балла?

После первого месяца занятий результат Маши улучшается на 7 баллов и составляет 43 + 7 = 50 баллов. Еще через месяц 50 + 7 = 57 баллов.

4. (Задача ОГЭ)

В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?

1) 28 + 2n 2) 30 + 2n 3) 32+2n 4) 2n

Количество мест в рядах кинозала образуют арифметическую прогрессию. По формуле для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

В нашей прогрессии

5. (Задача ОГЭ) Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: −87 ; −76; −65; … Найдите первый положительный член этой прогрессии.

Найдем разность прогрессии:

По формуле для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

Мы хотим найти первый положительный член этой прогрессии.

Это значит, что мы находим номер n, начиная с которого выполняется неравенство .

Васе надо решить 140 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 8 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 7 дней.

Теперь разбираемся, что из этих обозначений нам известно. Мы знаем, что нужно решить 140 задач, это и есть сумма за весь период, то есть S = 140.

Известно, что за первый день решено 8 задач, значит a1=8. Со всеми задачами школьник справился за 7 дней, значит n=7.

Прогрессия — последовательность величин, каждая последующая из них находится в некоторой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Арифметическая прогрессия .

Арифметическая прогрессия - это ряд чисел, в котором все член получаются из предыдущего методом добавления к нему 1-го и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Или другими словами: арифметическая прогрессия — численная последовательность, которая имеет вид:

т.е. последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа, начиная со 2-го, получаются из предыдущего путем добавления к нему постоянного числа (шаг либо разность прогрессии):

Всякий (n-й) член прогрессии можно вычислить с помощью формулы общего члена:

Арифметическая прогрессия - это монотонная последовательность. При она возрастает, а при — убывает. Если , то последовательность - стационарная. Это следуют из соотношения для членов арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии.

1. Общий член арифметической прогрессии.

Член арифметической прогрессии с номером можно найти с помощью формулы:

где — 1-й член прогрессии, — разность прогрессии.

2. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность - это арифметическая прогрессия для элементов этой прогрессии выполняется условие:

3. Сумма 1-х членов арифметической прогрессии.

Сумму 1-х членов арифметической прогрессии можно найти с помощью формул:

где — 1-й член прогрессии,

— член с номером ,

— число суммируемых членов.

где — 1-й член прогрессии,

— разность прогрессии,

— число суммируемых членов.

4. Сходимость арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия является расходящейся при и сходящейся при . При этом:

5. Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.

Есть — арифметическая прогрессия с разностью , где число . Тогда последовательность, которая имеет вид является геометрической прогрессией, имеющей знаменатель .

Примеры арифметических прогрессий.

1. Натуральный ряд 1, 2, 3, 4, 5,… является арифметической прогрессией, в которой 1-й член , а разность .

1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, в которой и .

2. Если каждый элемент некоторой последовательности имеет такую же величину, как и остальные элементы этой системы и равен некоторому числу , тогда это является арифметической прогрессией, в которой и . В частности, является арифметической прогрессией с разностью .

3. Сумма 1-х натуральных чисел выражают формулой:

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел (членов прогрессии), в которой каждое число, начиная со 2-го, получают из предыдущего путем умножения его на определённое число (знаменатель прогрессии), где , : .

Или другими словами: геометрическая прогрессия - это численная последовательность, каждое из чисел равняется предыдущему, умноженному на определенное постоянное число q для данной прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии можно вычислить при помощи формулы:

Когда и , значит, прогрессия возрастает , когда , значит, прогрессия убывает, а при — знакочередуется.

Название геометрическая прогрессия взяла из своего характеристического свойства:

т.е. все члены равны среднему геометрическому их соседей.

Свойства геометрической прогрессии.

1. Логарифмы членов геометрической прогрессии (если они определены) образуют арифметическую прогрессию:

2. Произведение 1-х n членов геометрической прогрессии рассчитывают при помощи формулы:

3. Произведение элементов геометрической прогрессии, начиная с k-ого члена, и заканчивая n-ым членом, рассчитывают при помощи формулы:

4. Сумма n 1-х членов геометрической прогрессии:

5. Если , то при , и при .

Примеры геометрических прогрессий.

1. Последовательность площадей квадратов, в которой каждый последующий квадрат получают соединением середин сторон предыдущего — геометрическая прогрессия со знаменателем ½, не имеющая предела. Площади образующихся на каждом этапе треугольников тоже образуют нескончаемую геометрическую прогрессию со знаменателем ½, сумма которой равняется площади начального квадрата.

2. Последовательность числа зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.

3. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из 13 членов.

4. 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — нескончаемо убывающая прогрессия со знаменателем -½.

5. — геометрическая прогрессия со знаменателем равным единице (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

Читайте также: