Незнайка посадил в ряд несколько ромашек затем между каждыми

Обновлено: 05.10.2024

"Бобрята посадили в ряд на поляне несколько деревьев. Затем между каждыми двумя посаженными деревьями посадили еще по дному дереву. Затем эту операцию проделали еще дважды. В результате в ряду оказалось посажено 97 деревьев. Сколько деревьев бобрята посадили в начале?". Смогла решить только подбором. Как объяснить, как решить? Задали в Школе гимназиста, интересно узнать ответ.

n деревьев было в начале. Еще посадили n - 1, стало:
n + n - 1 = 2n - 1
Посадили еще 2n - 2, стало:
2n - 1 + 2n - 2 = 4n - 3
Последняя "посадка" 4n - 4, стало:
4n - 3 + 4n - 4 = 8n - 7
Уравнение:
8n - 7 = 97
n = 13

1. а) Ваня задумал число, умножил его на 2, прибавил 3 и получил 17. Какое число задумал Ваня? б) На этот раз Гоша задумал число. Потом прибавил к нему 5, разделил на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил 2. Какое число задумано?

а) Так как после прибавления 3 получилось 17, значит, до этого было 17 − 3 = 14. Число 14 получилось после умножения на 2, значит, до этого было 14:2 = 7.

б) Аналогично проделаем все действия в обратном порядке:
2·7 = 14
14 + 6 = 20
20:4 = 5
5·3 = 15
15 − 5 = 10.
Таким образом, задумано было число 10.

2. Женщина собрала в саду яблоки. Чтобы выйти из сада, ей пришлось пройти через четыре двери, каждую из которых охранял свирепый стражник, отбиравший половину яблок. Домой она принесла 10 яблок. Сколько яблок досталось стражникам?

Решение. После прохождения каждой двери количество яблок уменьшалось в 2 раза. Так как дверей было четыре, то яблок сначала было 10·2·2·2·2 = 160.
Тогда стражники забрали 160 − 10 = 150 яблок.

3. В парке посадили в ряд аллею деревьев. Через год между любыми двумя соседними деревьями посадили ещё по одному. Ещё через год проделали то же самое. Стало 1197 деревьев. Сколько их было изначально?

Решение. Если в ряд растут несколько деревьев, то мест между ними для посадки новых на 1 меньше, чем деревьев в ряду. Пусть перед тем, как деревья сажали третий раз, их уже было x . Значит, добавилось ещё x − 1 дерево. Так как их стало 1197, то x + x − 1 = 1197. Тогда 2 x − 1 = 1197, 2 x = 1198, x = 599. То есть, за год до того, как деревьев стало 1197, их было 599.
Дальше будем рассуждать аналогично. Пусть сначала (то есть за год до того, как деревьев стало 599) их было y . Получаем , что 2 y − 1 = 599. Тогда y = 300. Значит, изначально деревьев было 300.

4. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет и отдал их второму, потом второй проиграл первому половину своих монет, затем опять первый проиграл половину монет. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго 33. Сколько монет было у каждого из пиратов перед началом игры?

Решение. В конце игры у первого пирата стало 15 монет. До этого он проиграл половину своих монет второму, значит, перед последней партией у него было 15·2 = 30 монет, тогда у второго было 33 − 15 = 18 монет. Перед тем, как у пиратов стало соответственно 30 и 18 монет, второй проиграл половину своих первому. Значит, ещё раньше (после первой партии) у второго пирата было 18·2 = 36 монет, а у первого 30 − 18 = 12. Перед этим прошла самая первая партия, после которой первый отдал половину своих монет второму. Значит, в самом начале у первого пирата было 12·2 = 24 монеты, а у второго 36 − 12 = 24.

5. На озере расцвела одна лилия. Каждый день количество цветов на озере удваивалось, и на 20-й день все озеро покрылось цветами. На какой день озеро покрылось цветами наполовину?

Решение. Каждый день количество лилий удваивалось. Значит, перед последним 20-м днём лилий было в два раза меньше, чем после него. Т.е. они покрывали половину озера.

6. С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли с помощью таких операций из 1 получить 74?

Решение.
74 ← 37 ← 73
74 ← 47
Число 74 можно получить, указанными операциями, из числа 37 (умножением на 2) или из числа 47 (перестановкой цифр). Числа 37 и 47 нечётные, поэтому умножением на 2 их получить нельзя. Перестановкой цифр 37 можно получить из числа 73, а 47 из 74 (начальное число). 73 — нечётное число, поэтому его также можно получить только перестановкой цифр из числа 37 (тоже уже встречалось). Получается, что 74 применением указанных операций можно получить только из чисел 37, 47 и 73. Таким образом, из 1 нельзя получить 74.

7. Все натуральные числа от 1 до 1000 записали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем, также в порядке возрастания, числа с суммой цифр 2, потом — числа, сумма цифр которых равна 3 и т.д. На каком месте оказалось число 996?

Решение. Сумма цифр числа 996 равна 24. Причём 996 — самое большое из выписанных с такой суммой цифр (так как в первых двух разрядах стоят максимально большие цифры). Значит, перед числом 996 выписаны только числа с суммой цифр 25, 26, 27. (Никакое из выписанных чисел не может иметь сумму цифр, большую 27, так как число 999 имеет максимально возможную сумму цифр из всех трёхзначных, а значит, также и из всех двузначных, и однозначных чисел, а единственное выписанное четырёхзначное число 1000 имеет сумму цифр, равную 1.) Сумму цифр 27 имеет только число 999, сумму цифр 26 — числа 998, 989 и 899, сумму цифр 25 — числа 997, 979, 799; 988, 898, 889. Таким образом, перед числом 996 написано 10 чисел, значит, оно оказалось на 990-м месте.

8. На Малом Мехмате в к. 12-04 всем заходившим туда детям давали шоколадки. Первому зашедшему дали одну шоколадку и десятую часть всех оставшихся, второму зашедшему дали две шоколадки и десятую часть оставшихся, …, девятому зашедшему дали девять шоколадок и десятую часть оставшихся. После этого прибежал Гоша, но, к сожалению, шоколадки уже закончились. Сколько шоколадок получили дети?

Решение. Когда пришёл Гоша, то шоколадок уже не осталось, то есть, можно сказать, что их осталось 0 штук. Перед этим в комнату заходил ребёнок (девятый по счёту), которому дали сначала 9 шоколадок, а потом десятую часть оставшихся. Если отдать десятую часть шоколадок, то ещё останется девять десятых. Но девять десятых от количества оставшихся шоколадок оказалось равно 0, значит, и одна десятая тоже равна 0. Таким образом, ребёнок №9 (будем называть его так) получил 9 + 0 = 9 шоколадок. До девятого школьника заходил ребёнок №8. Он получил 8 шоколадок и десятую часть оставшихся. После того, как он ушёл, осталось 9 шоколадок — "девять десятых оставшихся". Значит, "десятая часть оставшихся", равна 1, а всего ребёнок, пришедший восьмым, получил 8 + 1 = 9 шоколадок. Таким образом, перед его приходом было 18 шоколадок. Аналогично можно получить, что перед приходом ребёнка №7 было 27 шоколадок, перед приходом ребёнка №6 — 36 шоколадок, №5 — 45 шоколадок, №4 — 54 шоколадки, №3 — 63 шоколадки, №2 — 72 шоколадки и перед приходом первого ребёнка была 81 шоколадка. Таким образом, дети получили 81 шоколадку.

Дополнительные задачи

9. Сеня задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, зачеркнул последнюю цифру результата и получил 21. Какое число задумал Сеня?

Решение. В итоге Сеня получил 21, значит, на предпоследнем шаге у него было число вида "21 a ", где a — некоторая цифра (вычёркиванием её и получается число 21). "21 a " было получено умножением на 7, значит, это число должно делиться на 7. Среди чисел, имеющих указанный вид, это 210 и 217. Эти числа могли быть получены умножением на 7 из чисел 30 и 31 соответственно. Значит, число на предыдущем шаге имело вид: "30 b " или "31 b ", где b — некоторая цифра. Оно было получено из исходного числа умножением на 13, а значит, должно делиться на 13. Заметим, что 299 делится на 13, следующее число, делящееся на 13, равно 312, а следующее за ним — 325. Таким образом, среди чисел вида "30 b " и "31 b " только 312 удовлетворяет условию. Получается, что на втором шаге было 312, а исходное число, которое задумал Сеня, равно 24. Легко проверить, что 24 подходит: 24·13 = 312 → 31·7 = 217 → 21.

10. По кругу расставлены 9 нулей и единиц, причём не все расставленные числа равны. За один ход между каждыми двумя соседними числами записывается 0, если эти числа равны, и 1, если они не равны. После этого старые числа стираются. Могут ли через некоторое время все числа стать равными?

Решение. Предположим, что в некоторый момент все числа стали равными, причём до этого такого не происходило. Если все числа равны 0, то, значит, перед этим любые два соседних написанных числа были равны, так как иначе после очередного хода появилась хотя бы одна 1. Но нетрудно заметить, что из того, что любые два рядом стоящих числа были равны, следует, что все они были равны. Но это противоречит нашему предположению о том, что рассматриваемый момент первый, когда все числа стали равны.
Если же все в рассматриваемый момент все числа равны не 0, а 1, то получается, что в предыдущей расстановке любые два соседних числа были различны (если это не так, то появился хотя бы один 0). Значит, в предыдущей расстановке нули и единицы должны были чередоваться, но так как всего было записано 9 чисел — нечётное число, то этого быть не может. В этом нетрудно убедиться, если выбрать любое число из выписанных и начать двигаться по кругу. Третье, пятое, седьмое и девятое числа будут равны первому. Но первое и девятое числа соседние, а значит, равны быть не могут. Получается, что наше предположение неверно, и все числа стать равными не могут.

Вдоль тропинки росли ромашки. Между каждыми двумя ромашками вырос василёк, а затем между каждым васильком и ромашкой - одуванчик. Оказалось, что теперь вдоль тропинки растёт 101 цветок. Сколько ромашек растёт вдоль тропинки?

Помимо ответа нужно привести необходимые объяснения.

Если рассмотреть такое их произрастание:

то видно, что две ромашки дли соседство одному васильку и двум одуванчикам, всего пять цветков.

Однако, каждая последующая ромашка:

РОВОР Р -> РОВОР ВР -> РОВОР ОВОР,

будет давать соседству трём цветам, всего (вместе с собою) - четырём.

Потому отнимем от 101 цветка первую пятёрку и разделим остаток на четыре:

то есть у нас получается 24 группы по четыре цветка - два одуванчика, ромашка и василёк, всего в этих группах будет - 48 одуванчиков, и по 24 ромашки и васильков. Вспоминаем про первую пятёрку,

итого у нас получается:

48 + 2 = 50 одуванчиков,

24 + 2 = 26 ромашек,

24 + 1 = 25 васильков.

Проверка 50 + 26 + 25 = 101,

Ответ 50 одуванчиков, 26 ромашек и 25 васильков.

Возьму первоначальное количество ромашек за икс. Но между двух ромашек, если их чётное или нечётное количество, то выросло х - 1 васильков. Потом в проверке докажу. А затем между каждым васильком и ромашкой вырос одуванчик их стало столько же сколько ромашек. А теперь составлю уравнение:

х + х - 1 + х = 101.

Ромашек было 34, а васильков на 1 меньше. Например, 2 ромашки - 1 василёк. 3 ромашки - 2 василька, 4 ромашки три василька. Если представить с ноликами и единичками, то выглядит так:

БВ портит. Представлю буквами:

А теперь за одуванчики представлю двойки:

БВ портит. Представлю буквами:

РОВОР. Поровну ромашек и одуванчиков:

РОВОРОВОР - Одуванчиков стало на один больше. Обнаружена ошибка!

РОВОРОВОРОВОР - одуванчиков стало на 2 больше. Обнаружена ошибка!

Решение неверное. Проверка не удалась.

Здесь наблюдается, что васильков х - 1. А ромашек 2*(х-1), одуванчиков. Составляю новое уравнение:

х + (х - 1) + 2*(х - 1) = 101. Вычисляю:

х + х - 1 + 2х - 2 = 101.

4х = 101 + 3 = 104.

Ромашек было 26.

Васильков 26 - 1 = 25.

Одуванчиков: 2*25 = 50.

26 + 25 + 50 = 101. сходится.

Мой правильный ответ: Первоначально ромашек росло вдоль тропинки 26.

Я же говорила, что от большого ума. Топографический кретинизм? Черти рисунки, рисуй чертежи. — 2 месяца назад

У нас тропинка - это длинный отрезок на котором растут Х - ромашек. Цветки будут расти между ромашками. То есть в промежутках. А промежутков между ромашками будет на 1 меньше, то есть (х-1) промежуток.

И в каждом таком промежутке вырос сначала 1 василек, то есть (х-1) васильков.

А потом между васильком и ромашкой росло по одуванчику; Получается, что в каждом таком промежутке между ромашками выросло по 2 одуванчика, то есть 2•(x-1) одуванчиков.

Получается что в каждом промежутке между ромашками выросло 3 цветка.

Всего получится на тропинке x + 3•(x-1) = 101

Ответ: 26 ромашек росло вдоль тропинки;

Факультативно можно посчитать, что между ними выросло 75 цветков из которых 25 васильков и 50 одуванчиков.

Муниципальный этап всероссийской олимпиады по математике. 2015 год.

Правильный ответ на каждую задачу стоит 5 баллов. Всего 100 баллов.

Задача 1. На доске написали подряд идущие числа: 41, 42, 43, . 194, 195. Сколько чисел написали на доске?

Задача 2. Слон опаснее Тигра, Хомячок опаснее троих, Акула самая безопасная. Расставьте всех четырех животных в порядке увеличения опасности.

Задача 3 . Гарри Поттер делает зелье, в которое нужно добавить 1 часть лягушачьих лапок, 2 части сушёных грибов, 3 части волчьих ягод и 4 части воды. Сколько стаканов сушёных грибов ему нужно взять для того, чтобы получить 30 стаканов зелья?

Задача 4 . В трёх ящиках лежат орехи. В первом ящике орехов на 8 меньше, чем в двух других вместе, а во втором — на 14 меньше, чем в первом и третьем вместе. Сколько орехов в третьем ящике?

Задача 6. Четыре кота съели четыре сосиски за четыре минуты. Сколько сосисок съедят двенадцать котов за двенадцать минут?

Задача 7 . Сколько всего прямоугольников изображено на рисунке справа?

Задача 8. Иван, Петр и Сидор ели конфеты. Их фамилии — Иванов, Петров и Сидоров. Иванов съел на 2 конфеты меньше Ивана, Петров – на 2 конфеты меньше Петра, а Петр съел больше всех. У кого какая фамилия?

Задача 10. Старому дедушке Кариму нужно перенести с огорода в сарай 54 мешка с картошкой. Он позвал на помощь внуков. Внуки разбились на пары, и каждой паре досталось по три мешка. Сколько внуков у дедушки Карима?

Задача 11. В мишени есть три области, попадание в которых ценится в 5 очков, 3 очка и 2 очка (см. рисунок). Попадание вне этих областей не дает очков. За один раунд игрок делает три выстрела, очки за которые суммируются. За какое минимальное количество раундов можно набрать ровно 104 очка?

Задача 12. Разрежьте нарисованный на картинке квадратный торт тремя прямыми разрезами на 7 частей так, чтобы в каждой части была одна розочка. (Розочки обозначены чёрными кружочками.)

Ответ: ______ ______

Задача 13 . Разрежьте фигуру на 4 равные части так, чтобы в каждой было по одной закрашенной клетке.

Ответ: _____ ______

Задача 14 . Маша вышла из дома, а через 12 минут оттуда же вышли Паша и Гриша. Паша шел вдвое быстрее, чем Гриша, и догнал Машу за 4 минуты. За сколько минут догонит Машу Гриша?

Задача 15 . Учащиеся 4 и 5 классов пошли на экскурсию. Мальчиков было 17, всех пятиклассников — 25, девочек из четвертого класса столько же, сколько мальчиков из пятого. Сколько всего детей побывали на экскурсии?

Задача 16. В клетке, сев в кружок, беседуют четыре попугая: Гоша, Тиша, Кеша и Рома. Зеленый попугай (не Гоша и не Тиша) сидит между Ромой и голубым попугаем. Белый попугай сидит между Тишей и розовым попугаем. Определи, какого цвета каждый попугай.

Задача 17. Глеб и Катя живут в одном доме, на каждом этаже которого расположено 4 квартиры, а в каждом подъезде одинаковое число этажей. Глеб живет на 5 этаже в квартире №83, а Катя — на 3 этаже в квартире №169. Сколько этажей в доме?

Задача 18. Найдите наибольшее число, в котором цифры не повторяются и из которого нельзя с помощью вычеркивания одной цифры получить четное число.

Задача 19. Найдите площадь фигуры, составленной из девяти квадратов, если периметр этой фигуры равен 32 см.

Задача 20. В саду у юного садовода Васи растут розы и ромашки, всего 2015 цветов. Вася подсчитал, что если бы количество роз увеличилось в 2 раза, а количество ромашек уменьшилось на 100, то цветов бы стало 2016. Сколько роз и ромашек растет в саду у Васи?

Предварительный просмотр:

Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике. 2016 год. 4 класс.

Восстановите пример на сложение, если известно, что всего в его записи использовано 5 двоек, 2 единицы, 2 ноля и 2 шестерки.
Дату 15 ноября можно записать двумя числами: 15.11. Артур записал таким образом дату своего рождения, затем перемножил два получившихся числа. В результате у него получилось 372. Найдите дату его рождения. Укажите все варианты.

На скамейке в ряд сидят три ребенка — Соня, Лиза и Рома, но неизвестно, в каком порядке они сидят. Всего у ребят в руках 15 шариков, причем справа от Сони 8 шариков, а слева от Ромы — 10 шариков. Сколько у кого шариков?
Аня и Даша играли в слова. Аня придумывала слова из 4 букв, а Даша – из 6. сколько слов придумала Аня и сколько слов придумала Даша, если вместе они придумали 11 слов, а всего в этих словах было 56 букв?

Сколько всего треугольников изображено на рисунке справа?

Баба Яга варила грибной суп. Бледных поганок в нем было в 3 раза больше, чем мухоморов, мухоморов на 12 меньше, чем сыроежек, бледных поганок и сыроежек — поровну. Других грибов в супе не было. Сколько всего грибов в супе?
Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке справа на уголки вида: . Уголки можно поворачивать и переворачивать.

Предварительный просмотр:

Школьный этап всероссийской олимпиады школьников по математике. 2016 год.

Задача 1. В ряд посадили 5 ромашек. Затем, в каждом промежутке между двумя ромашками, посадили по одному тюльпану. Сколько всего цветов посажено?

Задача 2. 2 яблока тяжелее, чем 6 слив, но если в чашу к сливам добавить еще одно яблоко, то весы уравновесятся. Сколько слив весят столько же, сколько одно яблоко?

Задача 3 . Какое число мы получим, прибавив к 17 наименьшее двузначное число и поделив результат на наибольшее однозначное число?

Задача 4 . Волк, заяц и лиса шли лесными тропами с одинаковыми скоростями. Их тропинки изображены на рисунке. Кто из них шел дольше всех?

Задача 5. Петя выходит из дома в 6:55 утра и приходит в школу в 7:32 утра, а его друг Коля приходит в школу в 7:45 утра, несмотря на то что он живет ближе к школе. Причем дорога до школы у Коли занимает на 12 минут меньше, чем у Пети. Во сколько Коля выходит из дома?

Задача 6. Катя живет на короткой улице, дома на которой пронумерованы последовательно от 1 до 24. Сколько раз цифра 2 встречается в записи номеров этих домов?

Задача 7 . У Миши есть 60 спичек. Из них он построил треугольник, каждая сторона которого состоит из 6 спичек. Из оставшихся спичек он построил прямоугольник, одна из сторон которого состоит из 9 спичек. Из скольких спичек состоит вторая сторона прямоугольника?

Задача 8. Древние шумеры обозначали цифры так: ◊ — означает 1, ○ — означает 10, и □ — означает 60. К примеру, число 12 было бы записано как ○ ◊◊. Запишите на древнешумерском число 134.

Задача 9. Найдите наибольшее трехзначное число, в котором сумма любых двух подряд идущих цифр делится на 4.

Задача 10. Кузнечик прыгает по прямой дороге. Расстояние одного прыжка 1 см. Сначала он прыгает 10 прыжков вперед, потом — 2 прыжка назад, потом – опять 10 прыжков вперед и затем 2 прыжка назад и так далее. Сколько прыжков он сделает к моменту, когда впервые окажется на расстоянии 100 см от начала?

Задача 11. Цифры от 1 до 9 записали на 9 карточек. Леше дали карточки с цифрами 1, 4, 5; Маше — 3, 8, 9, а Феде — 2, 6, 7. Как каждому из них получить 20 в результате, если можно использовать арифметические операции: + (сложение), − (вычитание), × (умножение), : (деление), и каждую из своих карточек ровно по одному разу?

Задача 12. Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на 3 равные по форме и по площади части.

Задача 13 . Вдоль прямой дороги расположены 4 села в следующем порядке: A, B, C и D. Расстояния между соседними селами 10 км. В селе A живет 10 школьников, в В — 20 школьников, в C — 30, в D — 40. В каком селе должна быть построена школа, чтобы суммарное расстояние, проходимое школьниками было наименьшим?

Задача 15 . На олимпиаду пришли Матвей, Тимофей и Елисей. Один из них четвероклассник, другой — пятиклассник, а третий — шестиклассник. Известно, что пятиклассник решил на одну задачу меньше, чем Матвей, а Елисей решил на две задачи больше, чем шестиклассник. Кто решил больше задач и на сколько: Тимофей или четвероклассник?

Фамилия, имя ___________________________________________________________________

Класс _______ Школа___________________________________________________________

Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.

Читайте также: