Семена горчицы содержат 7 семян сорняков определить вероятность

Обновлено: 05.10.2024

Рассмотрим некоторый поток событий, в котором события наступают независимо друг от друга и с некоторой фиксированной средней интенсивностью $lambda$ (событий в единицу времени). Тогда случайная величина $X$, равная числу событий $k$, произошедших за фиксированное время, имеет распределение Пуассона. Вероятности вычисляются по следующей формуле:

Для пуассоновской случайной величины математическое ожидание и дисперсия совпадают с интенсивностью потока событий:

$$M(X)=lambda, quad D(X)=lambda.$$

Распределение Пуассона играет важную роль в теории массового обслуживания . При увеличении $lambda$ данное распределение стремится к нормальному распределению $N(lambda, sqrt)$. В свою очередь, оно само является “приближенной” моделью биномиального распределения при больших $n$ и крайне малых $p$ (см. теорию про формулу Пуассона ).

Распределение Пуассона – определение

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга. Другими словами, если событие происходит с некоторой периодичностью, то мы можем определить вероятность, что такое событие произойдёт n раз за интересующий нас период.

Параметр лямбда – λ

Распределение Пуассона зависит только от одного параметра – λ, данный параметр зависит от вероятности успешного события и общего количества событий.
Успешное событие: распределение Пуассона применяется только тогда, когда есть разделение на результат “да” и “нет”, например, лампочка перегорела: да – успешное событие; шина прокололась: да – успешное событие и так далее.

λ = n*p, где p – вероятность успешного события, а n – общее количество событий, для которых ведётся расчёт.
Например, если гроза проходит раз в месяц и мы хотим посчитать вероятность грозы за 24 месяца, то вероятность равна единице, а количество событий равно 24, откуда лямбда равна 24.
Можно считать по-другому, вероятность грозы в конкретный день – 1/30, количество событий – 730 дней, лямбда равна 24.3.

Пример

В тысяче ящиков с антоновками в одном попадается голден, какова вероятность, что в 5000 ящиках будет меньше 4 ящиков с яблоком голден?

Вероятность ящика с яблоком голден – 0.1% (1 ящик на 1000 = 1/1000, если в процентах – 1/1000 * 100 = 0.1%)
Общее количество событий – 5000 ящиков
Из вышесказанного следует:
λ = 5000 * 0.001 = 5

Функция вероятности (формула Пуассона)

Вероятность, что успешное событие произойдёт k раз:

Пример

В тысяче ящиков с антоновками в одном попадается голден, какова вероятность, что в 5000 ящиках будет 2 ящика с яблоком голден?

Из предыдущего примера мы знаем, что λ=5, теперь мы ищем вероятность, что k будет равно 2, для этого используем формулу функции вероятности:

f(4) = P(k = 4) = λ k e -λ / k! = 5 2 * e -5 / 2! = 0.084 = 8.4%

Условия возникновения распределения Пуассона

Рассмотрим условия, при которых возникает распределение Пуассона.

Во-первых, распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда число опытов n неограниченно увеличивается (стремится к бесконечности) и одновременно вероятность p успеха в одном опыте неограниченно уменьшается (стремится к нулю), но так, что их произведение np сохраняется в пределе постоянным и равным λ (лямбде):

В математическом анализе доказано, что распределение Пуассона с параметром λ = np можно приближенно применять вместо биномиального, когда число опытов n очень велико, а вероятность p очень мала, то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко.

Во-вторых, распределение Пуассона имеет место, когда есть поток событий, называемым простейшим (или стационарным пуассоновским потоком). Потоком событий называют последовательность таких моментов, как поступление вызовов на коммуникационный узел, приходы посетителей в магазин, прибытие составов на сортировочную горку и тому подобных. Пуассоновский поток обладает следующими свойствами:

стационарность: вероятность наступления m событий в определённый период времени постоянна и не зависит от начала отсчёта времени, а зависит только от длины участка времени;
ординарность: вероятность попадания на малый участок времени двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события;
отсутствие последствия: вероятность наступления m событий в определённый период времени не зависит от того, сколько событий наступило в предыдущий период.

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона:

Распределение Пуассона и расчёты в MS Excel

Вероятность распределения Пуассона P(m) и значения интегральной функции F(m) можно вычислить при помощи функции MS Excel ПУАССОН.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

x – число событий m;
среднее;
интегральная – логическое значение: 0 – если нужно вычислить вероятность P(m) и 1 – если вероятность F(m).

Почему Пуассон изобрел свое распределение?

Чтобы предсказывать количествобудущихсобытий!

Или более формально: чтобы предсказывать вероятность данного числа событий, происходящих в определенный интервал времени.

В продажах, например, “событие” это покупка (сам момент покупки, не просто выбор). Событием может быть количество посетителей в день на веб-сайте, кликов на рекламном объявлении в следующем месяце, число звонков в рабочее время или число людей, которые умрут от смертельных заболеваний в следующем году, и так далее.

Недостатки биномиального распределения

a) Биномиальная случайная величина бинарна — 0 или 1.

В примере выше у нас было 17 лайков в неделю. Это 17/7 = 2.4 человека в день и 17/(7*24) = 0.1 в час.

Если моделировать вероятность успеха в часах (0.1 человек в час), используя биномиальную случайную величину, получим, что в большем количестве часов лайков будет 0, а в некоторые часы ровно 1 лайк. Также возможно, что в час будет больше 1 лайка (2, 3, 5 и т.д.).

Проблема с биномиальным распределением в том, что оно не может содержать более одного события в единицу времени (1 час в примере).

Так может разделить 1 час на 60 минут и принять за единицу времени минуту? Тогда в 1 час поместится несколько событий. (Помним, что 1 минута содержит только ноль или одно событие).

Теперь проблема решена?

Вроде бы. Но что если в течение одной минуты мы получим несколько лайков? (например, кто-то поделился постом в Твиттере, и трафик вырос в эту минуту). Что тогда? Можно разделить минуту на секунды. Тогда единицей времени становится секунда, и в минуту помещается несколько событий. Но проблема бинарного контейнера будет существовать для все меньших единиц времени.

Дело в том, что биномиальная случайная величина может содержать несколько событий, если делить единицу времени на все меньшие единицы. В результате изначальная единица времени будет содержать более одного события.

Математически это означает n → ∞. Если предположим, что среднее значение фиксировано, тогда p → 0. В противном случае n*p — количество событий — чрезмерно возрастет.

Единица времени с использованием этого лимита может быть бесконечно мала. Больше не нужно беспокоиться о более чем одном событии в единицу времени. Так получается распределение Пуассона.

b) В биномиальном распределении количество попыток (n) должно быть известно заранее.

Нельзя посчитать вероятность успеха при помощи биномиального распределения, зная только среднее значение (17 человек в неделю). Нужно больше информации (n и p), чтобы использовать формулу.

Распределение Пуассона же не обязывает вас знать ни n ни p. Предположим, что n бесконечно велико, а p бесконечно мала. Единственный параметр распределения — значение λ (ожидаемое значение x). В реальной жизни чаще известно только значение (например, с 2 до 4 часов дня я принял 3 телефонных звонка), а не значения n и p.

Решение задачи на распределение Пуассона в Excel

Пример 1. Отдел технического контроля определил, что среднее число не соблюденных допусков в размерах производимых деталей составляет 6. Определить вероятности следующих событий обеими рассматриваемыми функциями (для сравнения результатов вычислений):

Вероятность наличия 3 и менее погрешностей в случайно отобранной детали.
Вероятность наличия ровно 3 погрешностей в случайно выбранной детали.

Вид таблицы данных:

Рассчитаем вероятность наличия трех и менее дефектов с помощью функций:

B3 – среднее значение;
B2 – предполагаемое значение, для которого рассчитывается вероятность;
ИСТИНА – указатель на интегральный тип функции.

Для нахождения вероятности выбора детали с наличием ровно трех дефектов используем функции:

Для расчета вероятности точного совпадения третий аргумент задан в качестве логического ЛОЖЬ.

Как видно, результаты вычислений обеих функций идентичны.

Числовые характеристики случайной величины Х

Математическое ожидание распределения Пуассона
M[X] = λ

Дисперсия распределения Пуассона
D[X] = λ

Пример №1 . Семена содержат 0.1% сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 2000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 2 P(5) = λ 5 e -5 /5! = 0.03609
Математическое ожидание: M[X] = λ = 2
Дисперсия: D[X] = λ = 2

Пример №2 . Среди семян ржи имеется 0.4% семян сорняков. Составить закон распределения числа сорняков при случайном отборе 5000 семян. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Математическое ожидание: M[X] = λ = 0.004*5000 = 20. Дисперсия: D[X] = λ = 20
Закон распределения:

X	0	1	2	…	m	…
P	e -20	20e -20	200e -20	…	20 m e -20 /m!	…

Пример №3 . На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 1/200. Найдите вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:
а) ровно одно неправильное соединение;
б) меньше чем три неправильных соединения;
в) больше чем два неправильных соединения.
Решение. По условию задачи вероятность события мала, поэтому используем формулу Пуассона (15).
а) Задано: n = 200, p = 1/200, k = 1. Найдем P₂₀₀(1).
Получаем: . Тогда P₂₀₀(1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Задано: n = 200, p = 1/200, k . Тогда P₂₀₀(1) ≈ e -1 ≈ 0,3679.
б) Задано: n = 200, p = 1/200, k
в) Задано: n = 200, p = 1/200, k > 2. Найдем P₂₀₀(k > 2).
Эту задачу можно решить проще: найти вероятность противоположного события, так как в этом случае нужно вычислить меньше слагаемых. Принимая во внимание предыдущий случай, имеем

Рассмотрим случай, когда n является достаточно большим, а p — достаточно малым; положим np = a, где a — некоторое число. В этом случае искомая вероятность определяется формулой Пуассона:

Вероятность появления k событий за время длительностью t можно также найти по формуле Пуассона:

где λ — интенсивность потока событий, то есть среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Пример №4 . Вероятность того, что деталь бракованная, равна 0.005. проверяется 400 деталей. Укажите формулу вычисления вероятности того, что больше 3 деталей оказались с браком.

Пример №5 . Вероятность появления бракованных деталей при их массовом производстве равна p. определить вероятность того, что в партии из N деталей содержится а) ровно три детали; б) не более трех бракованных деталей.
p=0,001; N = 4500
Решение.
Вероятность р мала, а число n велико. np = 4.5
Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = np = 4500*0.001 = 4.5
P(0) = e – λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = np = 4500*0.001 = 4.5
P(0) = e – λ = e -4.5 = 0.01111
P(1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится ровно три детали, равна:

Тогда вероятность того, что в партии из N деталей содержится не более трех бракованных деталей:
P(x Пример №6 . Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час N вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: а) ровно два вызова; б) более двух вызовов.
N = 18
Решение.
За одну минуту АТС в среднем получает λ = 18/60 мин. = 0,3
Считая, что случайное число X вызовов, поступивших на АТС за одну минуту,
подчиняется закону Пуассона, по формуле найдем искомую вероятность

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = 0.3
P(0) = e – λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

Найдем ряд распределения X.
Здесь λ = 0.3
P(0) = e – λ = e -0.3 = 0.7408
P(1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

Вероятность того, что за данную минуту она получит ровно два вызова:
P(2) = 0,03334
Вероятность того, что за данную минуту она получит более двух вызовов:
P(x>2) = 1 – 0,7408 – 0,2222 – 0,03334 = 0,00366

Пример №7 . Рассматриваются два элемента, работающих независимо друг от друга. Продолжительность времени безотказной работы имеет показательное распределение с параметром λ1 = 0,02 для первого элемента и λ2 = 0,05 для второго элемента. Найти вероятность того, что за 10 часов: а) оба элемента будут работать безотказно; б) только Вероятность того, что за 10 часов элемент №1 не выйдет из строя:
Рещение.
P₁(0) = e -λ1*t = e -0.02*10 = 0,8187

Вероятность того, что за 10 часов элемент №2 не выйдет из строя:
P₂(0) = e -λ2*t = e -0.05*10 = 0,6065

а) оба элемента будут работать безотказно;
P(2) = P₁(0)*P₂(0) = 0,8187*0,6065 = 0,4966
б) только один элемент выйдет из строя.
P(1) = P₁(0)*(1-P₂(0)) + (1-P₁(0))*P₂(0) = 0.8187*(1-0.6065) + (1-0.8187)*0.6065 = 0.4321

Пример №7 . Производство даёт 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий выбраковано будет не больше 17?
Примечание: поскольку здесь n*p =1100*0.01=11 > 10, то необходимо использовать теорему Лапласа .

Формула Пуассона

Давайте получим формулу Пуассона математически из формулы функции биномиального распределения.

Задача 47. В отделении 10 стрелков, из них 3 отличных, 5 хороших и 2 посредственных. Известно, что вероятность попадания в цель отличным стрелком - 0,9, хорошим - 0,8, и стреляющим удовлетворительно - 0,6. Из строя наугад вызывается один стрелок для производства выстрела по цели. Какова вероятность попадания в цель этим стрелком?

Решение. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H1, H2, …, Hn, образующих полную группу (гипотез), в соответствии с Формулой полной вероятности, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А, т. е. P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+…+P(Hn)P(A/Hn)= .

Пусть событие А – стрелок попал в цель. Гипотезы: H1 – стрелок отличный; H2 – стрелок хороший; H3 – стрелок посредственный. Вероятности этих гипотез следующие: ; ; .

Условные вероятности поражения цели по этим гипотезам даны:

P(A/H1)=0,9; P(A/H2)=0,8; P(A/H3)=0,6

Тогда, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность попадания в цель будет равна

P(A)=0,3×0,9+0,5×0,8+0,2×0,6=0,79.

Задача 48. В условиях предыдущей задачи 47 будем считать, что вызванный наугад стрелок произвел выстрел и попал в цель. Требуется определить вероятности, характеризующие его принадлежность к различным категориям стрелков.

Решение. В соответствии с Формулами Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:

В нашей задаче событие А – стрелок попал в цель; гипотезы Н1 – стрелял отличный стрелок; Н2 – стрелял хороший стрелок; Н3 – стрелял посредственный стрелок.

Априорные[1] (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,3; Р(Н2)=0,5; Р(Н3)=0,2. Условные вероятности попадания в цель по этим гипотезам даны: Р(А/Н1)=0,9; Р(А/Н2)=0,8; Р(А/Н3)=0,6. Полная вероятность попадания в цель Р(А)=0,79.

Тогда апостериорные[2] (послеопытные) вероятности гипотез будут равны

Заметим, что сумма вероятностей гипотез после испытания всегда равна единице. Для нашего примера .

Задача 49. Всхожесть семян данного растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) четыре; б) не менее четырех.

Решение. Воспользуемся Формулой Бернулли. Если производится П независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна Р, а вероятность противоположного события равна Q=1-P, то вероятность Рп(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно Т раз, вычисляется по формуле

Где есть число сочетаний из П элементов по Т.

А) По условию задачи вероятность всхожести семян Р=0,9; тогда Q=0,1; в данном случае П=5 и Т=4. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим

Б) Искомое событие А состоит в том, что из пяти посеянных семян взойдут или четыре, или пять. Таким образом, Р(А)=Р5(4)+Р5(5). Первое слагаемое уже найдено. Для вычисления второго снова применяем формулу (1):

Следовательно, Р(А)=0,328+0,591=0,919.

Задача 50. Вероятность появления события А в каждом из 625 испытаний равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в этих испытаниях появиться ровно 415 раз.

Решение. Если число испытаний П велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Использование этой формулы становиться практически невозможным. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает суть локальной теоремы Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна Р (Р отлично от нуля и единицы), а число П достаточно велико, то вероятность Рп(т) того, что в этих испытаниях событие А наступит Т раз (безразлично, в какой последовательности) вычисляется приближенно по формуле

Имеются готовые таблицы значений функции J(х) (см. табл. 1 Приложения).

По табл. 1 находим, что J(1,25)=0,1826. Подставив это значение в (2), получим

Задача 51. Среди семян ржи 0,04 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?

Решение. Применение асимптотической формулы (2) для случая, когда вероятность Р близка к нулю, приводит к значительному отклонению от точного значения Рп(т). При малых значениях Р (и при малых значениях Q) применяют асимптотическую формулу Пуассона.

Если вероятность появления события А в каждом из П независимых испытаний мала, а число испытаний П достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит Т раз, вычисляется приближенно по формуле

Где L=Пр.

Формулу (3) применяют в тех случаях, когда L£10. При этом чем больше число П И меньше число Р, тем точнее результат по этой формуле. По условию задачи П=5000, Т=5, Р=0,0004. Тогда L=5000.0,0004=2. Применяя (3), получим

Задача 52. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что число попаданий при 600 выстрелах будет заключено в пределах от 330 до 375.

Решение. Формулы Бернулли, Пуассона, асимптотическая формула (2), выражающая суть локальной теоремы Лапласа, позволяют найти вероятность появления события А ровно Т раз при П независимых испытаниях. На практике часто требуется определить вероятность того, что событие А наступит не менее Т1 раз и не более Т2 раз, т. е. число Т Определено неравенствами Т1£Т£Т2. В таких случаях применяют интегральную теорему Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна Р (Р отлична от нуля и единицы), а число П достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее Т1 раз и не более Т2 раз, вычисляется приближенно по формуле

Имеются таблицы значений функции (см. табл. 2 Приложения). Ф(х) называется функцией Лапласа. Эта функция является нечетной, т. е. Ф(-х)=-Ф(х). Поэтому таблица значений дается только для положительных чисел. Функция Ф(х) является монотонно возрастающей. При неограниченном возрастании Х функция Ф(х) стремиться к 0,5. Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу (4) можно записать так:

По условию П=600, Р=0,6, Т1=330, Т2=375. Находим A И B:

По таблице 2 находим Ф(1,25)=0,3944; Ф(-2,5)=-Ф(2,5)=-0,4938. Подставив эти значения в (5), получим искомую вероятность:

Задача 53. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х)=5; дисперсия D(X)=0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (4,7).

Решение. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией F(X), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (A,B), вычисляется по формуле

Если величина Х распределена по нормальному закону, то

Где А=М(Х) и . По условию S=5, , A=4 и B=7. Подставив эти данные в (6), получим

Задача 54. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) A=40 см, среднее квадратическое отклонение S=0,4 см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.

Решение. Если Х – длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (А-D, а+D), где А=40 и D=0,6. Подставив в формулу (6) A=а-D И B=а+D, получим

Подставляя в (7) имеющиеся данные, получим

Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8664.

Цитата: Alessia написал 19 окт. 2009 17:40

Среди семян пшеницы содержится в среднем 0,4% семян сорняка Какова вероятность обнаружения среди 2019 семян:
1) 4 семян сорняка
2) не менее 5 семян сорняка
3) не более 4 семян сорняка
Эта задача должна решаться по схеме Бернулли?

Эта задача решается с применением предельных теорем в схеме Бернулли.

n = 2019 - количество семян
p = 0.004 - вероятность того, что семя - сорняк

np = 2019*(0.004) = 8.076

Цитата: ZLOYALEX123 написал 14 окт. 2009 20:25
Немогли бы вы пожалуйста дорешать примеры, а то здавать в четверг, большое спасибо за помощь))))))
Задача 3
2 игральные кости бросают 2 раза. Найти закон распределения Д.С.В Х-числа выпадений четного числа очков на 2ух игральных костях
Задача4
Найти закон распределения Д.С.В. Х. которого имеет 2 возможных значения х1 и х2 (х1>x2)если мх=3,5 DX= 0.32 P2=0.1
Задача5
F(X)= система 0 ,x 3^(1/2)
Найти f(x), MX , DX и построить график f(x) и F(x)

Задача6
1)Найти вероятность того, что событие А появится не менее k и не более k+l раз.
2) найти значение наивероятнейшего числа m появления события A. Вычислить его вероятность
n=196 p=0.2 k=46 l=40
3) Найти вероятность того , что событие А произойдет хотя бы один раз
n= 600 p=0.006

И ещё:
Случайная величина x распределена с параметрами a=-2, s=6. С точностью 2 знака после запятой найти Р(x [-13;0])
Спасибо!

Студент пришёл на зачёт, зная 24 вопроса из 30. Какова вероятность слать зачёт, если для получения зачёта необходимо ответить на одни вопрос, а преподаватель задаёт последовательно не более двух вопросов?

Цитата: Anelka написал 19 окт. 2009 23:47

Случайная величина x распределена с параметрами a=7, s=2. С точностью 2 знака после запятой найти Р(x>10)

Случайная величина x распределена с параметрами a=-2, s=6. С точностью 2 знака после запятой найти Р(x [-13;0])

Цитата: dzen написал 20 окт. 2009 1:28
Помогите, пожалуйста, с решением следующей задачи.
Каждый избиратель, независимо от других избирателей, отдает свой голос за кандидата А с вероятностью 0,6 и за кандидата В – с вероятностью 0,4. Оценить вероятность того, что в результате голосования на избирательном участке (5000 избирателей) один из кандидатов опередит другого:
а) ровно на 1900 голосов;
б) не менее, чем на 1900 голосов.
Я понимаю, что тут нужно пользоваться локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа, но не соображу что-то, как завязаться на эту разницу в 1900 голосов.

Цитата: ZLOYALEX123 написал 14 окт. 2009 20:25
Немогли бы вы пожалуйста дорешать примеры, а то здавать в четверг, большое спасибо за помощь))))))
Задача 3
2 игральные кости бросают 2 раза. Найти закон распределения Д.С.В Х-числа выпадений четного числа очков на 2ух игральных костях
Задача4
Найти закон распределения Д.С.В. Х. которого имеет 2 возможных значения х1 и х2 (х1>x2)если мх=3,5 DX= 0.32 P2=0.1
Задача5
F(X)= система 0 ,x 3^(1/2)
Найти f(x), MX , DX и построить график f(x) и F(x)

При большом числе испытаний $n$ и малой вероятности $р$ формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, $0.97^$ вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в $n$ испытаниях ($n$ – велико) событие произойдет $k$ раз, используют формулу Пуассона:

Здесь $\lambda=n \cdot p$ обозначает среднее число появлений события в $n$ испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для $p \le 0,1$ и $np \le 10$. Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших $np$ рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа).

Примеры решений на формулу Пуассона

Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию дано: $n=1000$, $p=0,002$, $\lambda=np=2$, $k=3$.

Искомая вероятность после подстановки в формулу:

Пример. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. По условию дано: $n=500$, $p=0,004$, $\lambda=np=2$.

По теореме сложения вероятностей получаем вероятность того, что повреждено меньше 3 изделий, то есть 0, 1 или 2 изделия:

Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. По условию дано: $n=1000$, $p=0,003$, $\lambda=np=3$.

Чтобы найти вероятность $P_(k\gt 2)$ того, что магазин получит более двух разбитых бутылок, используем переход к противоположному событию (разбито не более 2 бутылок, то есть 0, 1 или 2):

$$ P_(k\gt 2) = 1 - P_(k\le 2) = 1 - (P_(0)+P_(1)+P_(2)) = \\=1 - \left(\frac\cdot e^ + \frac\cdot e^ + \frac\cdot e^ \right) =\\ =1 - \left(1 + 3 + 9/2 \right)\cdot e^ \approx 0,568. $$

Видео о решении задач с помощью формулы Пуассона

Подробную статью о формуле с примерами, онлайн калькулятор и расчетный файл к видеоролику вы найдете тут.

Читайте также: