Сколькими способами могут взойти 3 зерна пшеницы если посажено 7 зерен
Обновлено: 18.09.2024
1. Сколькими способами могут взойти 2 зерна пшеницы, если посажено 6 зерен?
2. В магазине продаются воздушные шарики семи цветов. Саша решил купить для праздника три шарика. Сколькими способами Саша может выбрать шарики, если:
а) он хочет, чтобы шарики отличались по цвету;
б) ему все равно, будут они отличаться по цвету, или нет?
3. Сколькими способами можно составить набор из 9 конфет, если имеются 4 сорта конфет?
4. В магазине 10 разных открыток, ребятам надо поздравить 13 преподавателей с днем учителя. Сколькими способами они могут купить открытки?
5. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танцевального конкурса?
6. В магазине работает 20 продавцов, из которых 6 мужчин. В смене занято 6 продавцов. Сколько различных смен можно составить, если в каждую смену работает 3 мужчины?
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теория вероятностей, как и любая другая математическая теория, содержит ряд первичных понятий, которые строго не определяются, а только поясняются, описываются. В первую очередь это относится к понятиям случайного эксперимента и элементарного события (исхода).
Под экспериментом (опытом) понимают выполнение некоторого действия и наблюдение за его результатом. Эксперимент, результат которого нельзя точно предсказать до его осуществления, называют случайным. Говоря о случайном эксперименте, также предполагают, что его можно повторить при одних и тех же условиях неограниченное число раз (по крайней мере, теоретически).
Взаимоисключающие друг друга результаты случайного эксперимента, которые нельзя представить через другие его результаты, называют исходами (или элементарными событиями), а их совокупность – множеством исходов эксперимента. Каждый эксперимент заканчивается одним и только одним исходом.
Любое подмножество множества исходов называют событием.
В результате однократного проведения эксперимента конкретное событие может произойти, а может и не произойти. Если многократно провести один и тот же опыт, то окажется, что одни события происходят чаще, чем другие. Для количественного сравнения событий по частоте их появления вводят понятие вероятности.
Построение математической модели эксперимента предполагает описание: 1) возможных исходов; 2) событий; 3) вероятностей наступления этих событий.
Комбинаторика раздел математики, занимающийся подсчетами количества различных комбинаций между объектами.
Перестановка – упорядоченные множества состоящие из n различных элементов
Пр-р: сколько можно составить все возможных комбинаций из букв АВСД?
Перестановка с повторениями – если множество имеет повторяющиеся элементы
Пр-р: в слове математика: а-3, м-2, т-2, е-1, и-1, к-1
Размещение – упорядоченное подмножество m элементов, составленное из всего множества, содержащего n элементов
Пр-р: Сколькими способами можно распределить 3 путевки между 4мя желающими?
Размещение с повторением – случай, когда размещение из n элемениов по m элементов может содержать любой элемент сколько угодно раз от 1 до m включительно или не содержать его совсем.
Пр-р: сколько различных двоичных чисел длинной 6 можно записать с помощью цифр 0 и 1?
Сочетание из n элементов по m наз неупорядоченное подмножество, состоящее из m элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов
Пр-р: сколькими способами могут взойти 3 зерна пшеницы если посажено 7 зерен?
Сочетания с повторениями – каждое сочетание с повторением из n элементов по m элементов может содержать не только из различных элементов, но и из m каких угодно и как угодно повторяющихся элементов или не содержать совсем.
Пр-р: студент покупает 4 тет. В магазине выставлены тет 8ми видов. Сколько сущ различных способов купить 4 тет?
2. Правило умножения и сложения комбинаторики. Пример.
Правило суммы
(в группе 16 юношей и 14 девушек, то преподаватель может вызвать к доске 1 учащегося 14+16=30 способами.)
Правило произведения
Если элемент можно выбрать способами, а элемент способами, то пару ( )можно выбрать m способами. А и В
(всего 26 человек, м-21, ж -5, то 21*5=105 способов.)
3. Классическое и статистическое определение вероятности. Пример.
Вероятность события – это численная мера объективной возможности его появления.
Вероятность события А наз отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу равновозможных несовместных элементарных исходов, образующие полную группу.
, где n-число всех исходов, m-число благоприятствующих исходов.
Пр-р: вероятность выпадения решки Р(А)=m/n=1/2
Статистическая вероятность события принимают относительную частоту или число близкое к ней.
Под относительной частотой события понимают отношение m/n, где n-число опытов, m-число появления событий.
4. Геометрическое определение вероятности. Пример.
Геометрической вероятностью события наз. Отношение меры, благоприятствующей появлению события, к мере всей области.
Пр-р: на плоскости нанесена сетка квадратов со стороной 8 см. найти вероятность, что брошенный на плоскость круг радиуса не пересечет ни одной стороны квадрата.
S(А)=64см 2 , S(В)=36см 2 , Р(А)=36/64=0,6=60%,
5. Свойства вероятности. Пример.
Вероятность случайного события А, есть положительное число, заключенное между 0 и 1
Вероятность достоверного события равно 1
Вероятность невозможного события равно 0
Сумма вероятностей 2-х противоположных событий равна 1
6. достоверные, невозможные и случайные события. Пример.
Достоверным событием наз событие, которое обязательно произойдет при определенном комплексе условий (омега)
Пр-р: из ящикас кубиками вытащить кубик – 100%
Невозможное – которое не может произойти в результате данного испытания
Пр-р: из ящика с зелеными кубиками вытащить красный – 0%
Случайное – которое может произойти либо не произойти в результате некоторого события.
7. виды случайных событий. Пример.
Совместные если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появление других. (при бросании монеты появление цифры на одной не иск появление цифр на других.)
Несовместные если появление одного исключает появление других (на экзамене не возможно получить 2 и 3 и 4 и 5)
Единственно возможное если в результате, испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (купил или не купил журнал)
Равновозможные события если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления чем другое (при бросании кости появл каждой грани равновозможное событие)
Противоположные – два единственно возможных и не совместных (попадание и промах при стрельбе)
Полная группа событий - совокупность всех единственно возможных и несовместных событий (получил на экзамене 5,4,3,2)
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
Задача 47. В отделении 10 стрелков, из них 3 отличных, 5 хороших и 2 посредственных. Известно, что вероятность попадания в цель отличным стрелком - 0,9, хорошим - 0,8, и стреляющим удовлетворительно - 0,6. Из строя наугад вызывается один стрелок для производства выстрела по цели. Какова вероятность попадания в цель этим стрелком?
Решение. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий H1, H2, …, Hn, образующих полную группу (гипотез), в соответствии с Формулой полной вероятности, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А, т. е. P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+…+P(Hn)P(A/Hn)= .
Пусть событие А – стрелок попал в цель. Гипотезы: H1 – стрелок отличный; H2 – стрелок хороший; H3 – стрелок посредственный. Вероятности этих гипотез следующие: ; ; .
Условные вероятности поражения цели по этим гипотезам даны:
P(A/H1)=0,9; P(A/H2)=0,8; P(A/H3)=0,6
Тогда, согласно формуле полной вероятности, искомая вероятность попадания в цель будет равна
P(A)=0,3×0,9+0,5×0,8+0,2×0,6=0,79.
Задача 48. В условиях предыдущей задачи 47 будем считать, что вызванный наугад стрелок произвел выстрел и попал в цель. Требуется определить вероятности, характеризующие его принадлежность к различным категориям стрелков.
Решение. В соответствии с Формулами Байеса, вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на условную вероятность события по этой гипотезе, деленному на полную вероятность события:
В нашей задаче событие А – стрелок попал в цель; гипотезы Н1 – стрелял отличный стрелок; Н2 – стрелял хороший стрелок; Н3 – стрелял посредственный стрелок.
Априорные[1] (доопытные) вероятности гипотез нам известны: Р(Н1)=0,3; Р(Н2)=0,5; Р(Н3)=0,2. Условные вероятности попадания в цель по этим гипотезам даны: Р(А/Н1)=0,9; Р(А/Н2)=0,8; Р(А/Н3)=0,6. Полная вероятность попадания в цель Р(А)=0,79.
Тогда апостериорные[2] (послеопытные) вероятности гипотез будут равны
Заметим, что сумма вероятностей гипотез после испытания всегда равна единице. Для нашего примера .
Задача 49. Всхожесть семян данного растения составляет 90 %. Найти вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут: а) четыре; б) не менее четырех.
Решение. Воспользуемся Формулой Бернулли. Если производится П независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления событий А постоянна и равна Р, а вероятность противоположного события равна Q=1-P, то вероятность Рп(т) того, что при этом событие А осуществляется ровно Т раз, вычисляется по формуле
Где есть число сочетаний из П элементов по Т.
А) По условию задачи вероятность всхожести семян Р=0,9; тогда Q=0,1; в данном случае П=5 и Т=4. Подставляя эти данные в формулу Бернулли (1), получим
Б) Искомое событие А состоит в том, что из пяти посеянных семян взойдут или четыре, или пять. Таким образом, Р(А)=Р5(4)+Р5(5). Первое слагаемое уже найдено. Для вычисления второго снова применяем формулу (1):
Следовательно, Р(А)=0,328+0,591=0,919.
Задача 50. Вероятность появления события А в каждом из 625 испытаний равна 0,64. Найти вероятность того, что событие А в этих испытаниях появиться ровно 415 раз.
Решение. Если число испытаний П велико, то применение формулы Бернулли приводит к громоздким вычислениям. Использование этой формулы становиться практически невозможным. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает суть локальной теоремы Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна Р (Р отлично от нуля и единицы), а число П достаточно велико, то вероятность Рп(т) того, что в этих испытаниях событие А наступит Т раз (безразлично, в какой последовательности) вычисляется приближенно по формуле
Имеются готовые таблицы значений функции J(х) (см. табл. 1 Приложения).
По табл. 1 находим, что J(1,25)=0,1826. Подставив это значение в (2), получим
Задача 51. Среди семян ржи 0,04 % сорняков. Какова вероятность при случайном отборе 5000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
Решение. Применение асимптотической формулы (2) для случая, когда вероятность Р близка к нулю, приводит к значительному отклонению от точного значения Рп(т). При малых значениях Р (и при малых значениях Q) применяют асимптотическую формулу Пуассона.
Если вероятность появления события А в каждом из П независимых испытаний мала, а число испытаний П достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит Т раз, вычисляется приближенно по формуле
Где L=Пр.
Формулу (3) применяют в тех случаях, когда L£10. При этом чем больше число П И меньше число Р, тем точнее результат по этой формуле. По условию задачи П=5000, Т=5, Р=0,0004. Тогда L=5000.0,0004=2. Применяя (3), получим
Задача 52. Вероятность попадания в цель при отдельном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что число попаданий при 600 выстрелах будет заключено в пределах от 330 до 375.
Решение. Формулы Бернулли, Пуассона, асимптотическая формула (2), выражающая суть локальной теоремы Лапласа, позволяют найти вероятность появления события А ровно Т раз при П независимых испытаниях. На практике часто требуется определить вероятность того, что событие А наступит не менее Т1 раз и не более Т2 раз, т. е. число Т Определено неравенствами Т1£Т£Т2. В таких случаях применяют интегральную теорему Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из П независимых испытаний постоянна и равна Р (Р отлична от нуля и единицы), а число П достаточно велико, то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее Т1 раз и не более Т2 раз, вычисляется приближенно по формуле
Имеются таблицы значений функции (см. табл. 2 Приложения). Ф(х) называется функцией Лапласа. Эта функция является нечетной, т. е. Ф(-х)=-Ф(х). Поэтому таблица значений дается только для положительных чисел. Функция Ф(х) является монотонно возрастающей. При неограниченном возрастании Х функция Ф(х) стремиться к 0,5. Если воспользоваться готовыми значениями функции Лапласа, то формулу (4) можно записать так:
По условию П=600, Р=0,6, Т1=330, Т2=375. Находим A И B:
По таблице 2 находим Ф(1,25)=0,3944; Ф(-2,5)=-Ф(2,5)=-0,4938. Подставив эти значения в (5), получим искомую вероятность:
Задача 53. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание М(Х)=5; дисперсия D(X)=0,64. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение в интервале (4,7).
Решение. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией F(X), то вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (A,B), вычисляется по формуле
Если величина Х распределена по нормальному закону, то
Где А=М(Х) и . По условию S=5, , A=4 и B=7. Подставив эти данные в (6), получим
Задача 54. Считается, что отклонение длины изготавливаемых деталей от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Стандартная длина (математическое ожидание) A=40 см, среднее квадратическое отклонение S=0,4 см. Найти вероятность того, что отклонение длины от стандартной составит по абсолютной величине не более 0,6 см.
Решение. Если Х – длина детали, то по условию задачи эта величина должна быть в интервале (А-D, а+D), где А=40 и D=0,6. Подставив в формулу (6) A=а-D И B=а+D, получим
Подставляя в (7) имеющиеся данные, получим
Итак, вероятность того, что изготовление детали по длине будут в пределах от 39,4 до 40,6 см, составляет 0,8664.
Основоположник теории множеств…Объекты, входящие во множество, называют … и обозначают…Назвать операции над множествами…Объединение (сумма) множеств…. Показать с помощью кругов Эйлера.Мощность множества…Записать формулу числа размещений.Сколько элементов содержится во множестве: А=; B=Равны ли множества а) А=> и B=
Какое из соотношений записано, верно?8; 11
Сколькими способами могут взойти 3 зерна пшеницы, если посажено 7 зерен?Укажите множество действительных чисел, соответствующих записи: А=
Составьте различные новые слова из букв слова: норматив.
Понятие множества…Обозначение множеств и способы задания…Кортеж…Пересечение множеств…. Показать с помощью кругов Эйлера.Виды множеств…Записать формулу числа сочетаний.Сколько элементов содержится во множестве: А=; B=
Равны ли множества а) А=> и B=
Какое из соотношений записано, верно?12; 9
Сколькими способами из различных нечетных цифр можно составить различные трехзначные числа?Укажите множество действительных чисел, соответствующих записи: А=Составьте различные новые слова из букв слова: стадион.
Полезно? Поделись с другими:
Если Вы являетесь автором этой работы и хотите отредактировать, либо удалить ее с сайта - свяжитесь, пожалуйста, с нами.
Посмотрите также:
Учебно-методические пособия и материалы для учителей, 2015-2022
Все материалы взяты из открытых источников сети Интернет. Все права принадлежат авторам материалов.
По вопросам работы сайта обращайтесь на почту [email protected]
Читайте также: