В зерне предназначенном для очистки 10 сорняков наудачу отобраны 4 зерна

Обновлено: 18.09.2024

Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайной величины. Случайной величиной называется величина, которая в результате испытания из множества возможных своих значений принимает только одно, причём заранее неизвестно, какое именно.

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными. Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, которая может принимать конечное число изолированных друг от друга значений, т.е. если возможные значения этой величины можно пересчитать. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, все возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток числовой прямой.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z и т.д. Возможные значения случайных величин обозначаются соответствующими малыми буквами.

Пример 1. Один раз бросают игральный кубик. При этом могут выпасть цифры от 1 до 6, обозначающие число очков. Обозначим случайную величину Х=. Эта случайная величина в результате испытания может принять только одно из шести значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Следовательно, случайная величина Х есть ДСВ.

Пример 2. При бросании камня он пролетает некоторое расстояние. Обозначим случайную величину X=. Эта случайная величина может принять любое, но только одно, значение из некоторого промежутка. Следовательно, случайная величина Х есть НСВ.

Закон распределения дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина характеризуется значениями, которые она может принимать, и вероятностями, с которыми эти значения принимаются. Соответствие между возможными значениями дискретной случайной величины и соответствующими им вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.

Если известны все возможные значения случайной величины Х и вероятности появления этих значений, то считают, что закон распределения ДСВ Х известен и он может быть записан в виде таблицы:

Х			…		…

Закон распределения ДСВ можно изобразить графически, если в прямоугольной системе координат изобразить точки , , …, и соединить их отрезками прямых линий. Полученная фигура называется многоугольником распределения.

x₁

x₂

x₃

x_n

P₃

P₂

P₁

P_n

•

Пример 3. В зерне, предназначенном для очистки, содержится 10% сорняков. Наугад отобраны 4 зерна. Обозначим случайную величину X=. Построить закон распределения ДСВ Х и многоугольник распределения.

Решение. По условию примера . Тогда:

;

Запишем закон распределения ДСВ Х в виде таблицы и построим многоугольник распределения:

Х
	0.6561	0.2916	0.0486	0.0036	0.0001

•

0,6561

0,2916

0,0486

0,0036

0,0001

Функция распределения случайной величины и её основные свойства

Закон распределения ДСВ можно задавать в виде таблицы, в которой содержатся возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. Такой способ задания закона распределения неприемлем для НСВ, так как значения этой случайной величины сплошь заполняют некоторый промежуток и указать в таблице бесконечное множество этих значений невозможно. Поэтому вводится понятие функции распределения вероятностей случайной величины, с помощью которой можно задавать закон распределения как ДСВ, так и НСВ.

Рассмотрим событие, состоящее в том, что случайная величина Х примет какое-нибудь значение, меньшее произвольного числа х, т.е. X

Функция распределения обладает следующими свойствами:

Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1], т.е. .

Функция распределения неубывающая, т.е. если , то .

Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале (a,b), равна приращению функции распределения в этом интервале: .

Если все возможные значения случайной величины Х принадлежат интервалу (a,b), то F(x)=0 при и F(x)=1 при .

Пример 4. Два стрелка производят по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0.5, а для второго – 0.4. Обозначим ДСВ Х=. Требуется найти функцию распределения F(x) случайной величины Х и построить график функции F(x).

Решение. Число попаданий в мишень может быть 0, 1 или 2, поэтому случайная величина Х может принимать только три значения: 0, 1 или 2. Найдём закон распределения этой случайной величины.

Тогда .

Значению 0 случайной величины Х соответствует событие , вероятность которого равна . Значению 1 случайной величины Х соответствует событие , вероятность которого равна . И, наконец, значению 2 случайной величины Х соответствует событие . Вероятность этого события равна .

Закон распределения случайной величины Х запишем в виде таблицы и найдём функцию распределения:

Х
	0.3	0.5	0.2

Если , то , так как в интервале не содержится возможных значений Х. Если , то , так как в интервале содержится одно значение случайной величины Х=0. Если , то

, так как в интервале содержатся два значения случайной величины Х=0 и Х=1. Если же , то аналогично

Таким образом, функция распределения рассматриваемой случайной величины имеет вид:

Построим график функции распределения:

F(x)

0,8

0,3

•

Плотность распределения непрерывной случайной величины и её основные свойства

Пусть - функция распределения НСВ Х. Плотностью распределения вероятностей НСВ Х или просто плотностью распределения называется производная от функции распределения и обозначается , т.е. . Функцию называют дифференциальной функцией распределения.

Пусть есть плотность распределения вероятностей НСВ Х. Тогда справедливо утверждение: вероятность того, что НСВ Х примет значение в интервале (a,b), равна определённому интегралу от плотности распределения вероятностей, взятому в пределах от a до b, т.е. .

Так как по определению , а по предыдущей формуле , то . Таким образом, если известна функция распределения , то плотность распределения равна . Если же известна плотность распределения , то функция распределения находится по формуле .

Основными свойствами плотности распределения являются:

Функция неотрицательна, т.е. .

Пример 5. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение в интервале (-1,0).

Решение. Так как , то

Пример 6. Функция распределения случайной величины Х имеет вид

Найти плотность распределения этой случайной величины.

Решение. Так как , то

Пример 7. Случайная величин Х имеет плотность распределения

Найти вероятность того, что случайная величина Х примет значение в интервале (1,3).

Решение. Так как , то

Случайные величины бывают дискретными и непрерывными. Дискретной случайной величиной (ДСВ) называется случайная величина, которая может принимать конечное число изолированных друг о друга значений, т.е. если возможные значения этой величины можно пересчитать. Непрерывной случайной величиной (НСВ) называется случайная величина, все возможные значения которой сплошь заполняют некоторый промежуток числовой прямой.

Пример 1. Один раз бросают игральный кубик. При этом могут выпасть цифры от 1 до 6, обозначающие число очков. Обозначим случайную величину Х=. Эта случайная величина в результате испытания может принять только одно из шести значений: 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Следовательно, случайная величина Х есть ДСВ.

Пример 2. При бросании камня он пролетает некоторое расстояние. Обозначим случайную величину X=. Эта случайная величина может принять любое, но только одно, значение из некоторого промежутка. Следовательно, случайная величина Х есть НСВ.

Закон распределения дискретной случайной величины

1 Смотреть ответы Добавь ответ +10 баллов

Ответы 1

сшуай я когда учился у меня не было такой темы

Другие вопросы по Математике

Найдите по формуле для нахождения периметра прямоугольника: а)периметр p,если а=15 см,b=25 см; б)сторону а,если p=122 м,b=34м.

От причала а до причала в и обратно туристы плыли на лодке. на весь пусть они затратили меньше 3 ч 30 мин.скорость лодки в стоячей воде 5 км /ч, а скорость течения 2 км/ч. оцените.

Длина прямоугольника 1 4/20 метров, а ширина на 3/20 метров меньше длины. найдите периметр прямоугольника.

Трикотажне ательэ дыстало замовлення на виготовлення 28 однакових дорослих і 35 однакових дитячих спортивних шапочок. на всі спортивні шапочки для дорослих витратили 4 кг 200г шерс.

Решите : по плану буровики должны были прорубить 220000 м скважин . используя новую технологию ,они перевыполнили план на 3% . сколько метров скважин они прорубили.

Теорема Чебышева. Если величины Х₁, Х₂, Х₃, . Х_п, попарно независимы и их дисперсии D(X)_i ограничены, т. е.D(X _i) ≤ C, где С – некоторое число, не зависящее от п, то предельное равенство (2.10.2) выполняется, т. е. для Х₁, Х₂, Х₃, . Х_п справедлив закон больших чисел.

Теорема Бернулли . Пусть производятся п испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью р. Обозначим через x_i число появлений события А в i-м испытании. Возможные значения x_i: x_i = 1, если событие А наступило, и x_i = 0, если А не произошло в этом испытании. Сумма х₁ + х₂ + х₃ + . + х_п = т есть число появлений А в п испытаниях. Тогда

M(x_i) = 1∙p + 0 (1-p) = p,

(Можно доказать, что если p + g= l, то max pg= l/4.) Условия ограниченности дисперсии выполнено. Поэтому к случайной величине x_i применим закон больших чисел.

Подставив в (12.10.2) вместо число и вместо число пр, получим

, при n→ (2.10.3)

т. е. с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при числе испытаний n→ относительная частота появления события в одном испытании сколь угодно мало отличается от его вероятности. Это и есть доказательство теоремы Бернулли, как частного случая закона больших чисел, сформулированного П. Л. Чебышевым.

Закон больших чисел имеет важное практическое значение. Именно, на этом законе основано утверждение, что среднее арифметическое результатов измерений считается наиболее точным, наиболее близким к истинному значению измеряемой величины. Закон больших чисел широко используется в статистике, на нем основан выборочный метод, рассмотренный в следующей главе.

п. 2.11. ВЫВОДЫ

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное числовое значение, заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины бывают дискретные и непрерывные. Для дискретных величин законом распределения является таблица, в которой указаны возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности. Для непрерывных величин законом распределения служит интегральная функция распределения и дифференциальная функция распределения Функция F(x) является наиболее общей формой задания законов распределения случайных величин как дискретных, так и непрерывных и определяет все другие формы, а именно, дифференциальную функцию, таблицу и т. д.

Примерами распределений для дискретной случайной величины являются биномиальное распределение и распределение Пуассона. Примером распределения непрерывной случайной величины является нормальное распределение. Нормальное распределение является предельным законом. Величины, с распределением, близким к нормальному, очень часто встречаются в сельскохозяйственном производстве.

Важное практическое значение при обработке результатов наблюдений имеет правило трех сигм.

На основании изучения закона больших чисел можно сделать вывод: при соблюдении условий, оговоренных в п. 2.10, и при неограниченном возрастании числа наблюдений практически достоверно, что среднее значение результатов наблюдений случайной величины сколь угодно мало отличается от ее математического ожидания.

В клетке 6 белых и 4 серые мыши. Случайно отбирают 3 мышей, не возвращая обратно. Вычислите вероятности событий:A= ; В = ; С =; D = .
Для некоторой местности среднее число солнечных дней в июле составляет 25. Найдите вероятность того, что первые3 дня июля солнечные.
В корзине 12 плодов. Из них 3 поражены болезнью в скрытой форме. Из корзины последовательно извлекают два плода. Вычислите:

В ящике 30 яблок. Из них 3 поражены болезнью в скрытой форме. Последовательно без возвращения достают 3 яблока. Какова вероятность того, что они здоровы?
В корзине 12 яблок, из них 4 сорта А, остальные сорта В. Взяли 3 яблока. Найдите вероятность следующих событий:

Коэффициент использования рабочего времени (относительное время) двух комбайнов соответственно равен 0,8 и 0,6. Учитывая, что остановки в работе каждого комбайна случайны и независимы одна от другой, определите относительное время:

работы только одного комбайна;

Коэффициент использования рабочего времени у 3 тракторов соответственно равен 0,8, 0,7 и 0,6. Учитывая, что остановки в работе каждого трактора случайны и независимы одна oт другой, найдите относительное время.

совместной работы двух тракторов,

работы только одного трактора;

Вдоль длинных стен животноводческого комплекса проложено два транспортера, работающих независимо. Предположим, что вероятность безотказной работы каждого из них в течение дня равна 0,9. Определите вероятность безотказной работы обоих транспортеров:

У шести животных имеется заболевание, причем вероятность выздоровления равна 0,98. Какова вероятность того, что: а) выздоровят все шестеро животных; б) не выздоровит ни одного, в) выздоровят только пятеро?
Вероятность события = равна 0,009. Какова вероятность события = ; б) = ;в) = ?
В хозяйстве имеется 6 гусеничных и 4 колесных трактора Вероятность события = равна 0,95, а для колесного трактора эта вероятность равна 0,8. Для выполнения некоторой работы произвольно выбирается трактор. Найдите вероятность события = .
В трех корзинах находится картофель В первой 10%поврежденных клубней, во второй -15%, в третьей - 10%. Из наудачу выбранной корзины берут один клубень. Какова вероятность события = ?
Предприятия L, M, N производят соответственно 25, 30 и 45% запасных частей одного наименования к доильным аппаратам, которые поступают на центральную базу. Доля брака для них составляет соответственно 1, 2 и 3%. Взятое наугад изделие оказалось бракованным. Вычислите вероятности тою, что оно сделано на предприятии L, на предприятии М, на предприятии N.
В зерне, предназначенном для очистки, 10 % сорняков. Наудачу отобраны 4 зерна. Напишите биномиальный закон распределения дискретной случайной величины X (числа сорняков среди 4 отобранных зерен) и постройте многоугольник распределения.
В среднем на 1 м 2 посева встречается 0,5 растений сорняков. Найдите вероятность события = ; (не окажется ни одного сорняка>.
Доля поражения зерна вредителями в скрытой форме составляет 0,002. а) Составьте закон распределения случайной величины X-числа зараженных зерен среди 500 отобранных, б) Найдите наивероятнейшее число пораженных зерен среди 500 отобранных.
Определите среднее число солнечных дней на протяжении недели, если для данной местности вероятность того, что каждый день будет солнечным, составляет 0,6.
При изучении характера распределения сеялкой семян подлине рядка установлено, что на 20 из 100 двухсантиметровых отрезков было по 3 шт. семян, на 40 – по 2 шт., на 30 – по1 зерну, а на остальных семян вообще не оказалось. Найдите М(Х) и D(X) случайной величины X– числа семян на двухсантиметровом отрезке, приняв относительные частоты за вероятности.

37.Найдите М(Х) и D(X), приняв относительные частоты за вероятности.

38.Случайная величина X задана плотностью распределения f(х) = 2 sin 4x: в интервале [0, π/4], вне этого интервала f (х) = 0. Найдите вероятность события –

39.Составьте дифференциальную функцию для нормально распределенной случайной величины и постройте ее график, если даны ее параметры: 1) М (Х) = 4, σ_х = 0,2, 2) М (Х) = –0,5, σ_x = 2; 3) М (Х) = 3, σ_x = 1/4; 4) М (Х) = 0, σ_x = 1.

40.Случайная величина X-масса одного зерна – распределена нормально. Математическое ожидание массы зерна равно 0,18 г, среднее квадратичное отклонение 0,05. Хорошие всходы дают зерна, масса которых больше, чем 0,15 г. Найдите: а) процент семян, которые дадут хорошие всходы; б) величину, которую с вероятностью 0,95 не превысит масса отобранного зерна.

41.Норма высева на 1 га равна 150 кг. Фактический расход на 1 га колеблется около этого значения. Случайные отклонения характеризуются средним квадратическим отклонением в 10 кг.. Полагая, что норма высева – случайная величина с нормальным распределением, найдите: 1) вероятность события = ; 2) массу семян, которая обеспечивает посев площади в 100 га с вероятностью 0,95.

42.Методом проб установлено, что потери зерна при уборке в среднем составляют 3 г на 1 м 2 ; среднее квадратическое отклонение равно 1 г. Найдите. 1) вероятность события = ; 2) величину, которую с вероятностью 0,99 не превысят потери на 1 га. Считать, что X (потери зерна) есть нормально распределенная случайная величина.

43.Средняя масса плодов в одном ящике равна 10 кг, а среднее квадратическое отклонение в массе плодов одного ящика 1,5 кг. Найдите: 1) вероятность события = ; 2) наибольшее значение, которое с вероятностью 0,95 не превзойдет масса 100 ящиков.

44.Принять во внимание, что масса плодов в одном ящике - нормально распределенная случайная величина.

Сельскохозяйственное производство подвержено воздействию многочисленных факторов, часто скрытых от непосредственного наблюдения. Проследить все эти зависимости и дать их количественную характеристику невозможно. При изучении любого процесса, в частности в растениеводстве и животноводстве и т.д., стремятся выделить главные связи, определяющие основные особенности изучаемого процесса и пренебречь второстепенными.

Теория вероятностей как математическая наука дает возможность прогнозировать этот процесс на основе изучения соответствующих теоретико-вероятностных моделей, причем прогноз тем точнее, чем лучше вероятностная модель отражает сущность изучаемого процесса. Изучая модели и устанавливая вероятность некоторого события как результата осуществления комплекса условий, определяющих изучаемый процесс, имеется возможность получить важные практические результаты и руководствоваться ими в конкретных условиях производства.

В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны четыре детали. Построить ряд распределения и многоугольник распределения для дискретной случайной величины Х – число нестандартных деталей среди четырех отобранных.

По условиям задачи случайная величина Х может принимать значения 0,1,2,3,4. Поэтому для построения ряда распределения необходимо вычислить вероятности P (i=0,1,2,3,4).

В партии 10% нестандартных деталей, значит, вероятность выбора нестандартной детали можно принять равной 0.1. Будем считать эту вероятность постоянной при выборе каждой детали и, следовательно, проводимые нами опыты являются независимыми. Тогда для определения искомых вероятностей P (i=0,1,2,3,4) мы можем воспользоваться формулой Бернулли.

Х
Р	0.6561	0.2916	0.0486	0.0036	0.0001

В партии из шести деталей четыре детали стандартные. Наудачу отобраны три детали. Рассматривается случайная величина Х – число стандартных деталей среди отобранных. Для этой случайной величины построить ряд распределения, многоугольник распределения, функцию распределения, а также вычислить: m_x, D_x, σ_x , P . 3!)]=20

Число сочетаний благоприятствующих тому ,чтобы в выборке из трех деталей будет одна стандартная определяется следующим образом:

m=C₄ 1 C₂ 2 =4 . 1=4

Для X=2: m=C₄ 2 C₂ 1 =[4!/(2! . 2!)] . 2=6 . 2=12 P=12/20=0.6

Для X=3: m=C₄ 3 C₂ 0 =[4!/(3! . 1!)] . 1=4 P=4/20=0.2

Х
Р	0.2	0.6	0.2

Построим интегральную функцию распределения F(x)=P

График интегральной функции распределения имеет вид:

m_x=1 . 0.2+2 . 0.6+3 . 0.2=2

α₂=1 2. 0.2+2 2. 0.6+3 2. 0.2=0.2+2.4+1.8=4.4

Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась - это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". ==> читать все изречения.

Читайте также: